STAT2001/STAT2013/STAT6013/STAT6039 - Introductory Mathematical Statistics

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STAT2001/STAT2013/STAT6013/STAT6039 - Introductory Mathematical Statistics (for Actuarial Studies)/Principles of Mathematical Statistics (for Actuarial Studies)

Assignment 2 Semester 2 (2022)

Problem 2

(a) Let Y1 ,Y2 ,Y3 ,Y4 ,Y5  be an independent and identically distributed sample of size n = 5 from a normal distribution with mean µ = 0 and variance σ 2  = 1 and let  = (1/5) 对i(5)=1 Yi and U =对i(5)=1 (Yi − )2 . Let Y6  be another independent observation from the same normal distribution. What is the distribution of V = 2U − 1  (52 + Y62 )? Why?

(b) Let Y1 ,Y2 ,Y3 ,Y4 ,Y5  be an independent and identically distributed sample of size n = 5 from an exponential distribution with mean µ = 2. Find a number c such that

P ( Yi  > c) = 0.05.

Problem 3

Assume that the random variable Y has pdf given by

f(y) = {

(a) Find the pdf for U = Y2 .

(b) Use the result of part (a) to find E(Y) and Var(Y).

(c) Let Y1 ,Y2 , . . . ,Yn  be a set of independent random variables each with the same marginal distribution as Y above. Find the maximum likelihood estimator of γ = θ4 .

Problem 4

Let Y1 ,Y2 , . . . ,Yn  be an independent and identically distributed sample from a distribution with probability density function

f(y) =

where θ is an unknown, positive constant.

(a) Find an estimator θˆ1  for θ by the method of moments.

(b) Find an estimator θˆ2  for θ by the method of maximum likelihood estimation.

(c) Adjust θˆ1  and θˆ2  so that they are unbiased. Find the efficiency of the adjusted θˆ1  relative to the adjusted θˆ2 .