ETF2700/ETF5970 Mathematics for Business Assignment 2 (Semester 2, 2022)

Submission

This assignment contributes 10% to the overall assessment. You must submit all pages of your answers on Moodle. An assignment cover sheet (with your detailed information) is required to be attached as the front page of your submission.  In case that you are unable to merger two

documents into one, you are allowed to upload the cover sheet as a separate document. The due time is 23:55 Sunday the 16th of October 2022.

You need to ensure the following requirements:

(a) You don’t have to type your answers to each question, and a scanned copy of handwritten answers is acceptable.

(b)  If a question has sub-questions for example (1), (2), etc., please clearly indicate question numbers.

(c)  If Moodle encounters system errors after 6pm Friday the 14th of October (and before the due time), you can email your document(s) to ETF2700.caulfi[email protected].  In this situation, your file name should be in the format “Surname.ID.pdf”.

(d) The lecturer and tutors will not answers any request or question that is directly related to assignment questions before the due time.

Further Information

(a) A penalty of 10% of the total mark of this assignment will be deducted for each day overdue, up to 3 days.

(b) An assignment cannot be submitted if it is overdue by more than 3 days.

(c)  Extensions beyond the due date will only be allowed in special circumstances. You may visit

https://www.monash.edu/exams/changes/special-consideration

for the university policy and application procedure for special consideration.

(d)  If you don’t understand what the questions are asking, you need to

•  study the unit’s content prior to attempting the tutorial and assignment questions. This should enhance your ability to understand the questions.

•  ask a staff member to clarify the questions for you. A staff consultation schedule is on Moodle.

No Plagiarism!

Intentional plagiarism amounts to cheating. See theMonash Policy.

Plagiarism: Plagiarism means to take and use another person’s ideas and/or manner of express- ing them and to pass these off as one’s own by failing to give appropriate acknowledgement. This includes material from any source, staff, students or the internet-published and unpublished works.

Collusion: Collusion is unauthorised collaboration with another person or persons. Where there are reasonable grounds for believing that intentional plagiarism or collusion has occurred, this will be reported to the Chief Examiner, who may disallow the work concerned by prohibiting assessment or refer the matter to the Faculty Manager.

Questions

There are four questions. Please attempt all questions, show all the steps of your calculations and provide explanations to justify your answers.  To obtain a full marks of a question, it is important to provide complete answers supported by logically sound explanations, unless the question explicitly states that no explanation is needed. It is not sufficient to simply provide final answers.

Keep 4 decimal places when necessary.

Question 1 (30 marks)

Note that the following sub-questions are not related to each other.

(1)  Suppose that y is a function of x satisfying the equation

5x2 + 6y2 + 3xy + 5y + 3 = 0.

Use the implicit differentiation rule to find dy/dx (show necessary steps).

(2) Assume the Cobb-Douglas production function given by

Q = cLa K8 ,

where C is a constant, and L and K represent labor input and capital input, respectively. Suppose that the production is fixed at Q = Q0 , and at this fixed level of production, L is a function of K defined by

Q0 = cLa K8 .

Use the implicit differentiation rule to find the “rate of substitution of labor for capital”, which is measured by ∂L/∂K when the production is fixed at Q = Q0 (show necessary steps).

(3)  Suppose the demand and supply of a certain high-tech product are given as

D = f (P + T),          and          S = g(P),

where D is quantity demanded, S is quantity supplied, P is price, and T is consumption tax. Assume that f (.) and g(.) satisfy f\ (.) < 0 and g\ (.) < 0 on their domains. The market clears in the sense that D = S, that is,

f (P + T) = g(P),

which is assumed to define an implicit function P (T).

Express the derivative of P (T) with respect to T in terms of f\ (.) and g\ (.), and then comment on what will happen when the level of tax is altered.

(4)  Consider f (x)  = x4  - 8x2 , for x ∈  (-o, o).  Determine all intervals where f (x) is either increasing or decreasing.

(5) Use the first-order (derivative) condition and second-order (derivative) condition to deter- mine all local optimal (either maximum or minimum) points of the following function:

f (x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 4.

Question 2 (30 marks)

RoyalShoes is a company that produces sport shoes. The production function for the company’s recent release is

Q = 25L1/3 K2/3,    L > 0 and K > 0,

where L is the labor input and K is the capital input.  RoyalShoes has a budget constraint of 300 thousand dollars, with labour costing 20 thousand dollars per unit and capital costing 20 thousand dollars per unit.

This company wants to know the levels of L and K, at which its production can be maximised subject to the budget constraint.

(a)  Derive the Lagrangian function f(L, K, λ), which is the target function for optimisation sub- ject to the budget constraint (no explanation is needed).

(b)  Find the values of L and K, for which the production is maximised subject to the budget constraint (assume that the optimal solution exists).

(c)  Calculate the maximum level of production subject to the budget constraint (round it to two decimal places).

(d) Assume the budget is increased by 15 thousand dollars. Use the Lagrange multiplier derived in Part (b) to compute the maximum production subject to the new budget constraint (round it to two decimal places).

(e)  Denote the budget level as B, where B is a known constant being greater than 300 thousand dollars. Show that the ratio L/K, for which the production is maximised, does not depend on B . We assume the optimal solution always exists and the budget is always exhausted.

Question 3 (15 marks)

We assume that g(x) is a function defined on (0, 100) and has a derivative g\ (x) and a primitive function G(x) =  0z g(t)dt defined on the same domain. Moreover, for all x ∈ (0, 100), it is known that g(x) 2 0 and g\ (x) s 0.

(1)  In the 5th week, we learned that g\ (x) s 0 for all x ∈ (0, 100) implies that g(x) is decreasing. Show that this statement is true by using the properties of definite integrals. In other words, for all a, b ∈ (0, 100), show that f (a) 2 f (b) if a < b.

(2) We also learned that G\\ (x) = g\ (x) s 0 for all x ∈ (0, 100) implies that G(x) is concave. Show that this statement is true by using the properties of definite integrals and results from (1). In other words, for all a, b ∈ (0, 100), show that

G ╱  (a + b)、  2  (G(a) + G(b)) .

Hint: for arbitrary continuous functions h(x) and f (x) on interval [a, b],

b                             b

h(x)dx 2      f (x)dx,    if h(x) 2 f (x) for all x ∈ [a, b].

a                            a

Question 4 (25 marks)

Assume that the market for gasoline can be represented by the following demand and supply functions:

QD  = -0.5P + 9,          and          Qs  = 2P - 1,

where P is the price per gallon, and QD and Qs each represents quantity of gasoline (in millions of gallons) of gasoline consumed and supplied every year. Assume that the market clears in the sense that QD  = Qs .

(1)  Calculate price and quantity of gasoline under equilibrium.

(2)  In order to avoid too high prices, the government sets a price ceiling of $3.80 per gallon. What is the new quantity of gasoline supplied to the market? Use a graph of the supply and demand lines to illustrate your answer, showing the original equilibrium price and quantity from part (1) and the new quantity supplied at the price ceiling (note that the vertical axis needs to be price and the horizontal axis needs to be quantity).

(3)  Given the equilibrium price and demand (denoted by P0 and Q0), the consumer surplus (CS)

Q0

CS(Q0 ) =         P (Q)dQ - P0Q0 ,

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