EMET3007/8012 Assignment 3

EMET3007/8012 Assignment 3

Instructions:  This assignment is worth either 20% or 25% of the final grade, and is worth a total of 100 points (85 for EMET3007 students). For questions which ask you to write a program, you must provide the code you used. The assignment is due by 5pm Friday 21st of October (Friday of Week 11), using Turnitin on Wattle. Late submissions will be accepted without prior written approval and without penalty until Midday Mon-

day the 24th of October. They will not be accepted after this time. Good Luck.

The data for this assignment: The filemacrodata .csv contains (amongst other things) Australian inflation rate data from July 1979 to January 2022.    Set aside the 1979 data (the first two datapoints) to use as lags.  For all    questions, the ‘data’ is from Januray 1980, and when you need y0 or y-1,

use the 1979 data.

Questions 1, 2, 3, 5, and 6 use the inflation data only. Question 4 uses no data at all. Question M uses all data given.

Whenever it is necessary, use T0 = 60.

Question 1: [5 marks]

a) Plot the inflation data from 1980 to now. Produce a plot of the sample autocovariance function (using a stem plot of xcov or similar.

b) Make an informed judgement as to whether the data is covariance stationary. If it is not, then take appropariate logs and/or differences until you think the data is covariance stationary.  (This will likely involve producing additional plot(s) of sample autocovariance.

c) Based on your results from part (b), what kind of ARIMA model do you suspect will be good for modelling the inflation data?

Question 2: [20 marks]

a) Consider the model from Assignment 2 Question 7; the ARX(1) model with AR(2) errors. Fix o1 = o2 = 0.25. Find the maximum likelihood estimates for u, a, p, and a2 .

b) Now we want to estimate o1  and o2 instead of fixing them at 0.25. Find the maximum likelihood estimates for o1, o2, u, p, a, and a2 .

c) Instead of AR(2) errors consider the model with MA(2) errors:

yt  = u + at + pyt -1 + et,

et  = ut + 少1 ut -1 + 少2 ut -2,   ut  ~ N (0, a2 ) iid white noise

where u0 = u-1 = 0. Derive the log-likelihood function /(少1, 少2, u, p, a, a2  | y, y0 ).

d) For the inflation data, and using the model in part (c), find the MLE for 少1, 少2, u, p, a, and a2 . Which model fits the data better (in the MSE sense); the AR(2) errors, or MA(2) errors?

Question 3:  [15 marks] Consider the ARX(1) specification yt   = u + at + pyt -1 + et . Consider three models for the errors:

Model 1: et  ~ N (0, a2 ) white noise

Model 2: et  = o1et -1 + o2et -2 + ut,   ut  ~ N (0, a2 ) iid white noise Model 3: et  = ut + 少1 ut -1 + 少2 ut -2,   ut  ~ N (0, a2 ) iid white noise

For each model, using the Australian inflation data in macrodata .csv, compute the MSFE for the one-step-ahead and three-step-ahead forecast. Which model performs best at forecasting?

Question 4: [15 marks] This is a theory-only question. Do not attempt to use data in this question.

Consider the ARMA(2,1) process with drift

yt  = u + o1yt -1 + o2yt -2 + ut + 少ut -1,   ut  ~ N (0, a2 ) white noise

a) Compute the autocovariance function of y. You may assume the pro- cess is covariance stationary. [You may take a maximum of 10 points on this question by setting 少 = 0 if you wish in this part only. Please be clear and indicate if you do this.]

b) Explain how to produce a two-step-ahead forecast using this model.

c) Consider the poorly-formed model

yt  = u + o1yt -1 + o2yt -2 + 少0 ut+ 少1 ut -1,  ut  ~ N (0, a2 ) white noise

Suppose 9* = (u*, o1(*), o2(*), 少0(*), 少1(*), (a2 )* ) is a MLE for this model (given some hypothetical data). Find another MLE for this model. That is, show that the MLE for this model is not unique.  (Hint: Your new MLE values will be in terms of the parameters in 9* .)

Question 5:  [15 marks] For the inflation data provided, compute the MSFE for the IMA(1,2), IMA(1,3), and IMA(1,4) models.  Plot your fore- casts. Compare your results. [Recall: The IMA(1,q) model means the dif- ferences in the data follow an MA(q) process.]

Reflect on your results from you IMA analysis with your expected out- come from Question 1.