ENGG4440/6441: Nonlinear Control & Estimation Control of Magnetic Levitation System

Total marks available:

100 (ENGG4440)

120 (ENGG6441).

Parts A & B together are worth 70% of course grade.

Project submission must include both:

(A) (25%) Report A: (This Document) Interim Submission:

● Canvas 9pm Friday 16 September

(B) (45%) Report B: (Later Document) Final report & Demonstration:

Final Report: Canvas 9pm Friday 21 October

Demonstration & Assessment:

Week 13 (24-28 October) in your lab sessions

Submission Requirements: A zip file submitted to Canvas containing the following:

。A report clearly detailing all derivations, calculations, solutions and simulation results.

This can be handwritten, but MUST be neat/legible and properly scanned (no photos).

。All required MATLAB and SIMULINK files.  The only file that will be run is main .m, so

ensure that all simulations are run and figures to be marked are displayed through this script.  No changes will be made to the code (i.e.  if parameters need to be changed) so ensure all answers are immediately accessible.

1 Background Information

This project is based around a modified problem statement of a magnetic levitation system developed by Quanser [1].  The physical system consists of an an electromagnet in the upper section of the apparatus that is used to control the vertical movement of a one-inch solid steel ball.  The experimental setup of the system and corresponding schematic is shown in Figure 1.  From this it can be seen that the MagLev consists of two main components:  an electrical system and an electro-mechanical system.

(a) Experimental setup.

(b) Schematic of system.

Figure 1: Quanser magnetic levitation physical system and schematic [1].

The MagLev system is comprised of three main sections.

。The upper section of the apparatus houses an electromagnet made of a solenoid coil with

a steel core.

。The middle section consists of the chamber in which the magnetic ball suspension takes

place. One of the electromagnet poles faces down towards the top of a black post. A photo- sensitive sensor is embedded in the post and provides information about the elevation of the ball (with respect to the top of the post).

。The bottom section encases the circuitry required by the system (i.e. by the light intensity

position sensor).

Although the ball does have six Degrees Of Freedom (DOF) in free space, only the vertical (i.e.

x) axis is controlled. The sign convention used is that increasing xb  (ball position) is down.

The rest of this section provides the relevant background information required to understand the principles behind the magnetic levitation system, to derive a model of the system dynamics, and the basics for simulation.

1.1 Magnetic Levitation

Magnetic levitation is a phenomenon in which an object is suspended in air due only to a mag- netic force.  This type of levitation is inherently unstable (by Earnshaw’s theorem), meaning that it is impossible for the ball to levitate at an equilibrium point in a stable manner against gravity without feedback control [2]. Figure 1a shows the MagLev experimental system where the steel ball is levitating as a result of the magnetic field produced by the solenoid coil.

An important practical motivation for magnetic levitation is in magnetic bearing systems (see for example [3]), commonly used for high speed rotational systems including flywheel energy storage.  Interestingly enough, the energy required for the electromagnets can be significantly less than friction losses in mechanical bearings.  There is also potentially the benefit of lower maintenance issues, so it can be worthwhile in some cases.

1.2 Modelling Background

The project will require you to develop your own mathematical model for the magnetic levi- tation system. Some of the basic parameter specifications1 and variables are given in Table 1. These correspond to the schematic notation in Figure 1b, and have been modified for Part A from the true values for the physical device.

1.2.1 Electromagnetic Modelling: Faraday’s Law of Induction

In its simplest form, the voltage (or  electromotive force  (EMF)), 8, in a closed path (single loop) is the rate of change of the magnetic flux, Φ, in that loop:

81  = -   Φ

Based on (1.1), the voltage induced in a coil of Nc  turns is therefore:

d

(1.1)

(1.2)

Similar to how the EMF drives current through an electrical circuit, the magnetomotive force2 (MMF, r) drives magnetic flux through a magnetic circuit, with the relationship given by Equation 1.3.

r = Nc Ic                                                                                             (1.3)

Table 1:  Nominal parameter values of the magnetic levitation system.  Note the meanings of the parameters is the same, but the numerical values are substantially different to [1].

Similar to Ohm’s Law for electrical circuits, the MMF (for memoryless/lossless magnetics) can be expressed in terms of the magnetic flux (Φ) and the magnetic path reluctance (which is dependent on position, R(xb )).

r = ΦR(xb )                                                          (1.4) Combining Equations 1.4 and 1.3 gives the expression,

R(xb )

which then can be substituted into Equation 1.2 to give,

d Nc Ic d

Applying KVL around the electomagnet loop now yields the following expression,

Vc (t) = (Rc + Rs ) Ic +     (Lc (xb )Ic )

(1.5)

(1.6)

(1.7)

1.2.2 Modelling of Inductance Versus Position

There are a variety of models proposed for the important function, Lc (xb ), that describes the coil inductance as a function of the ball position.  The attractive force, F北 , generated by the electromagnet and acting on the steel ball is assumed to be expressed as,

F北 = Ic(2)

(1.8)

It is therefore clearly important to model Lc (xb ), or at least . There are various different equations provided in documents that reference the MagLev system, including [4] and Quanser documents [1]. In both places they model the inductance where x xb(|)2 , the implication being that the inductance (and rate of change of inductance) is infinite at xb  = 0. Whilst this model may be sufficiently accurate near typically operating points for xb   (around 1cm), it is clearly not physically meaningful, and will cause difficulties if we try to operate with a small gap between the ball and the electromagnet.

The following expression gives an alternate model of inductance verses position:

Lc (xb ) = Lc (o) + (Lc (0) - Lc (o)) e|ln(2)xb/x5b

where

(1.9)

。Lc (0) := coil inductance at xb  = 0 (approx. 200mH),

。Lc (o) := coil inductance at xb  s o (approx. 50mH),

。x50  := the xb  value for which Lc (xb ) = Lc (0)2(+)L(达) (approx 4mm).

1.2.3 Modelling of Ball Dynamics

The required dynamics can be derived by applying Newton’s second law of motion, that is, by considering the forces acting upon the ball.  Taking the ball position to be positive in the downwards direction, the sum of forces expression is

匕 F = Fg + Fx

where Fg  denotes the gravitational force and Fx  the electromagnetic force.

(1.10)

1.3 Simulation Model

A folder containing a base simulation is provided in ProjectCode PartA .zip.  There are two sub-folders which contain the required files for Windows (r2019b) and Mac (r2020a).  Each of these folders contain the following files:

。main .m - a MATLAB script that runs the base simulation                      。MagLevSys .slx - a SIMULINK file with the following subsystem blocks:

– A block describing the dynamics of the magnetic levitation system (including actu- ation constraints).

– A block describing the sensor models (with disturbances similar to physical system).

Relevant information about these blocks will be described further in the following sections. Figure 2 shows entire the SIMULINK schematic.

Figure 2:  SIMULINK block diagram depicting connections between input, system dynamics, sensor model and simulation output.   An open loop simulation can be executed from the

HandoutCode matlab script: main .m

Figure 3: results from open loop simulation executed by main .m

1.3.1 State-Space Model

The magnetic levitation dynamics subsystem block is shown in Figure 2 consists of one input port  (control input) and three output ports  (states).   The control input is the coil voltage u(t) = Vc (t) and the states are defined in the order x1 (t) = Ic (t), x2 (t) = xb (t) and x3  = x˙b (t). It is required that this state-space representation be derived (Section 2.1) such that relevant control strategies can be implemented.

Embedded in the model subsystem are actuator constraints and physical limits.  For the simulink model of the real system, the voltage output of the amplifier (which provides power to the MagLev system) is constrained to be between 士12V. Further, the position of the ball is restricted to be within the air gap, such that the rate of change of position drops to zero when this limit is reached. You are not required to describe the model for this, however, it is included in the simulation model built, which ensures xb  e [0, 25mm].

Note:  The model allows inclusion of a simplistic model of an effect called ‘magnetic remanance’ . For almost all the assessment, this should not be included.  To do this, leave the variable within MagLev Rem on  =  0.  Only at the very end of the assessment do you need to attempt control with this effect included: Rem on  =  1 .  Also, the model includes a variable Rctrue .  This represents the  exact  (unknown to  you  as  control designer)  value  of the  coil resistance.   This  can vary significantly during operation of the maglev due to temperature effects, and your control design must NOT use knowledge of Rctrue .  The only thing you can assume in your control design is that you know the nominal value, Rc, and that:

Rctrue e Rc × [0.8, 1.2]

(1.11)

2 Part A: Modelling, Design and Simulation

In the Part A questions, you may assume the presence of a velocity sensor.  That is, there is a way to measure the rate of change of ball position (dt(dx)b ).  For Part B, this assumption is no longer valid and the only measurements available will be ball position and current.

2.1 Q1: Mathematical Model and Analysis (20 Marks)

Take the states of the magnetic levitation system to be the coil current, ball position and ball velocity and the control input to be the coil voltage.  That is, define the states of the system to be x(t) = ┌x1 (t)   x2 (t)   x3 (t)┐T  = ┌Ic (t)   xb (t)   x˙b (t)┐T  and the control input u(t) = Vc (t).

A continuous time nonlinear state space model can be shown to be:

'(┌)'(┐) = Rx31Mbb(c) x3、x1、┐''

Complete the following:

(a) Using the information provided in Section 1.2.2, find an expression for

(b)  Consider the equilibrium point (based on student number) defined in Table 2. Find values

for the state variables and control at the equilibrium point.  Find the linearised system around this specified equilibrium point. Your linearisation should include numerical values for the local A and B matrices.

(c)  Calculate the open-loop eigenvalues and zeros (if any) of the linearised system.  For the zeros, take the output as the ball position.   If there are any unstable poles or zeros, explain the performance limitations, in particular restrictions on closed loop bandwidth and sampling rate these might suggest.

(d harder) Now consider linearisation about any state and control values that might occur during

tracking of a trajectory.  (That is, for this part, we no longer consider the specific equi- librium point found in part (b), and the linearisation might be performed about a point, x| , u|  that is not an equilibrium).

Give conditions, in terms of x| , u|  under which the linearisation is controllable.

Hint:  The controllability matrix contains several zero elements.  Because of this, several other terms in the controllability matrix make no impact on the determinant, and need not be computed.

2.2 Q2: Linear Control System Design and Simulation (50 marks)

At the operating point (that is, the equilibrium point based on your student number in 2.1(b)) and using a sampling rate Ts  = 1.5msec, complete the following:

(a) Design a discrete time controller  (including integral action with anti-windup) for the

simplified plant that satisfies the conditions specified in the marking guide below.  This should be achieved where the control design value of Rc is 2Ω, but where the true value can vary within the range of (1.11).

(b)  Simulate the controlled system for 1 second, from the initial condition

x(0) = ┌b +2(I¯c)mm┐

where the selected operating point, b , depends on your student number, see Table 2. I¯c may be computed based on b , and your integrator state may be initialised as you wish.

Your simulation, or m-files, or live script, should include demonstration of meeting the performance requirements below.  It should also show that the requirements are met for a range of values of Rctrue within the specifications of (1.11).