EMET3007/8012 - Week 2 Tutorial

1. Modelling Cyclical Components

We described a sinusoidal cyclical component of a model as

ct  = b1 sin(ωt) + b2 cos(ωt)

We want to justify using this functional form for the cyclical component.

a)  Show, by giving an example, that there exist sinusoidal cycles which cannot be written as b sin(ωt).

b)  Show that any sinusoidal cycle which can be written as t  = b sin(θt + k) can also be written as b1 sin(ωt) + b2 cos(ωt).

c) Argue why we might prefer to use the original formulation rather than the new formulation given in (b).

2.  Covariance

Let a, b e R and X, Y be random variables. Show that

a)  Cov(X, Y) = E(XY) - E(X )E(Y)

b) Var(aX + b) = a2Var(X )

c) Var(X + Y) = Var(X ) + 2Cov(X, Y) + Var(Y)

d)  Compare these results to the equivalent results for the expectation operator.

3.  Covariance Matrix

Let X be a random vector. Show that:

Σ = E[(X - ux )(X - ux )\]

4. Affine Transformations of Multi-Variate Normals

Let X be an n-dimensional multi-variate normal distribution with X ~ N(0, In ). Let Y = u + CX for some vector u e Rn  and some n × n matrix C .

a) Describe the random vector X.

b)  Show that Y ~ N(u, CC\ )

c)  Compare this to the single-variable case discussed in lecture.