BME 470/570: Homework 1

1.  (20 points) In each of the imaging scenarios below, provide a suitable domain, range, mapping, and concise representation of the imaging system operator, as we discussed in class and as exemplified below.

Example: A digital camera mapping a 3D object to a 2D continuous image.

● Domain: L2(R3)

● Range: L2(R2)

● Concise representation: H : L2(R3) → L2(R2)

● Mapping:

&            &            &

f(i\, y\) =         d之        dy        dif (i, y, 之)h(i\, y\, i, y, 之)             (1)

一&         一&          一&

(a) A camera imaging a moving object defined in a 3-D volume on to a detector that has K pixels.

● Domain:

● Range:

● Concise representation:

● Mapping:

(b) A planar X-ray system measuring the absorption properties of a human body to a two-dimensional photographic film. Assume that the absorption properties of the human body depend only on the 3-D location and not on any other factors. Also, you can assume that the human body is stationery while the image is being acquired.

● Domain:

● Range:

● Concise representation:

● Mapping:

(c) A 2-dimensional single-photon emission computed tomography (SPECT) sys- tem imaging the radiotracer distribution within a 2-D slice of a patient.  The system measures the projection on a pixellated detector with M1  pixels and takes projections every m/24 radians between 0 to m radians.

● Domain:

● Range:

● Concise representation:

● Mapping:

(d) A simulation study where a digital 3-D pixellated phantom of size N1 x N2 x N3

is input to  a simulated system that outputs  a  2-D pixellated image output M1  x M2 .

● Domain:

● Range:

● Concise representation:

● Mapping:

2.  (15 points) In class we have discussed the concept of Hilbert spaces.  An important example of a Hilbert space,  denoted by L2(a, 8),  is the space of complex-valued functions f(i) with the norm defined as follows:

IIfII = ┌  尸尸 diIf(i)I2 ┐ 1/2                                  (2)

For a function f(i) to lie in the Hilbert space, the norm must exist (i.e. must not go to infinity).

Evaluate whether the following functions lie within the Hilbert space L2(-&, &). For each function that lies in the Hilbert space, compute the norm.  Note that the function gaus(i) is given by

gaus(i) = exp(-mi2 )

Also, in the questions below, the symbol i denotes the imaginary number.

(a)  f(i) = 10 + 5i

(b)  f(i) = exp(ii)rect()

(c)  f (i) = gaus(i/2)

Extra credit: f (i) = sinc(2i)

3.  (25 points) In this problem, we will consider a simple idealized imaging system defined as below:

&            &

f(i\, y\) =         dy        di gaus(i\ - i)gaus(y\ - y)f (i, y)                 (3)

一&          一&

As we note, the system is defined by an operator that maps a function f (i, y) in the Hilbert space to another function f(i\, y\) in the Hilbert space.

(a) What is the domain and range of the operator, as expressed mathematically? Write the imaging system operator in compact mathematical notation, as dis- cussed in class.

● Domain:

● Range:

● Compact notation:

(b)  Derive the expression for the adjoint of the operator. Recall that the definition of the adjoint of an operator H is given by

(g1 , Hf2 ) = (H十g1 , f2 )                          (4)

(c) Is this imaging system linear? Prove eitherwise.

(d) Is the operator Hermitian? Prove eitherwise.

(e) Is this system shift invariant?  Describe your rationale, either mathematically or verbally.

4.  (20 points) Prove the following properties of adjoint operators by starting from the definition of the adjoint operator in terms of scalar products as discussed in class (Eq.  1.39 in textbook) and using only the properties of scalar products.   In each question below, H1  and H2  are two different operators that map between Hilbert spaces.

(a)  (cH)十 = c*H十, where c is a scalar

(b)  (H1 + H2)十 = H 1(十) + H2(十)

(c)  (H1H2)十 = H2(十)H 1(十)

(d)  (H十 )十 = H

5.  (20 points) For each integral transform below, identify the kernel of the imaging operator. Then evaluate whether the operator is compact (i.e. whether the integral transform satisfies the Hilbert-Schmidt condition).

(a) f(i′) =   一&(&) di f (i)gaus(i′ - i)

● Kernel:

● Evaluate compactness:

(b) f(i′) =   一&(&) di f (i) exp ╱ -2(北) 2β(北2)2 、

● Kernel:

● Evaluate compactness:

(c) f(i\) =   一&(&) di f (i) cos(i\ - i)

● Kernel:

● Evaluate compactness:

(d) f(i\) =   α一αdi f (i)sinc(i\ - i)

● Kernel:

● Evaluate compactness:

6.  (20 points) Choose two of your favorite images that are of the same dimensions. Convert each of these images to a 1-D vector. Then, compute the following for these images vectors using a programming language of your choice.  Provide the pseudo- code here and enclose the code as part of your solution.

Display image 1                                                  Display image 2

(a)  Do these images belong to a Hilbert space? If so, which Hilbert space?

(b) What is the L2  norm of the two image vectors?

(c)  Can you define an L2  distance between these two image vectors? if so, provide the formula and compute that distance. If not, state why.

(d) Which Hilbert space did the objects corresponding to these images belong to? If the spaces were different, specify the Hilbert space for each of the objects separately.

7.  (10 points) The Dirac Delta function 6(i) is a generalized function whose value is 0 if i  0 and whose value at i = 0 is undefined.  It satisfies the following so called

siftiξJ coξditioξ :

b

dif (i)6(i) = f (0), a < 0 < b,                                   (5)

a

where f (i) is a well-behaved function, called a test function or a good function. Evaluate the following integrals:

(a)   1一1 di i2 6(i)

(b)   3一3 di (2i + 4)6(i + 2)

(c)   1一1 di (2i + 4)6(i - 2)

(d)   一&(&) di exp(-4Ti2)6(i)

(e)   一&(&) di exp(-4mii2 )6(i - 2)

8.  (20 points) Two-dimensional (2D) versions of several functions you might have en-

countered previously are useful in imaging.  Sketch or plot each of the following 2D functions:

(a)  6(i - 2)6(y - 4)

(b) rect(2(北))rect(2(女) )

(c) rect(3i)rect(2y)

(d) sinc(2(北))sinc(2(女) )

Label all key dimensions.

Extra credit (10 points): Provide code in Matlab for plotting rect(i/L) and sinc(i/L). Demonstrate that the code works by choosing an L and plotting each function.