ECON6001/ECON6701, Semester 1 2022 Quiz 1

INSTRUCTIONS

1. Unlike the usual MCQ you may be accustomed to, in the following questions, there is not necessarily a unique correct choice — multiple options may be correct. For questions with multiple correct answers, total points for a question are divided equally between each correct selection. I deduct points if you are   over-selecting answers.   For example:  To illustrate, suppose (a) and (b) are  the only two correct answers to a 10 point question.

2. This Quiz is testing you on how well you understand the material covered in Lec 1-3. Review these lectures well, make sure that you understand what all the Theorems are saying and the assumptions they rely upon.  Work through the Problem Sets.   In particular, Condition a, Condition p, WARP, Roy's Identity, Sheppard's Lemma, properties of the Slutsky Matrix (second last slide, Lec 3) all play a role.

For the most part, there are no complicated derivations,  often  simple examples / counter- examples to the given statements are adequate.

3. Each of the TEN questions is worth 10 points.

Questions.

Note.   There was a typo in the definition of WARP in the original slides, which I then corrected

in class. (Slide 23, Lec 1) For convenience, I repeat the corrected definition here: WARP is said to hold if for any given pair of alternatives a ; b: a is revealed preferred to b implies  b is not strictly revealed preferred to a.

1) DM has a well-defined strict ranking over the finite set of alternatives X = {a ; b ; c ; d ; e ; f ; gg. Without loss of generality, assume a ⃞ b ⃞ c ⃞ d ⃞ e ⃞ f ⃞ g . At any B  X , C (B ) is the median ranked alternative.  Median is defined as the middle ranked element if B has an odd number of elements and the “middle two” elements if B has an even number of elements. (So, for example, C ({a ; b ; cg) = {bg since a ⃞ b ⃞ c and C ({c ; d ; f ; gg) = {d ; fg since c ⃞ d ⃞ f ⃞ g .)

a) Condition a is satisfied.

b) Condition  p is satisfied.

c) Not enough information to conclude if Condition p holds.

d) None of the above.

Sol.  Consider the choices sets A = {c ; d ; eg and B = {a ; b ; c ; d ; eg. We have C (A) = {dg and C (B) = {cg. So, Condition a does not hold.  Next, consider A = {a ; b ; c ; dg and B = {a ; b ; c ; d ; eg. Then C (A) = {b ; cg but C (B) = {cg. So, Condition p does not hold.

2) In a two good economy, a consumer chose the bundle A when given the blue budget con- straint (the relatively steep line) and B when given the brown budget constraint. Assume that choice in each case is unique.  What property/condition/axiom does she necessarily violate? You will be able to write your answer directly on Canvas

G2

B

A

G1

Figure 1.

Sol.  “WARP” or “Weak Axiom of Revealed Preference” .   Note.  If you have added anything else, your answer is incorrect as the question asks you which property is necessarily vioalted. In particular,  we cannot conclude anything about Condition a/Condition p (since they apply only compare a pair of choice sets when one is a subset of the other) nor transitivity (since transitivity requires a comparison of three choices). I have also subtracted points for simply saying “Weak Axiom” .

3) Consider a choice structure hX ; B ; Ci where X is finite and  B includes all two and three element subsets of X . Which of the following are true statements?

a. Condition a and Condition p imply the WARP .

b. Condition a and Condition p are implied by the WARP.

c. Condition a implies Condition p, provided C (B) has exactly one element for every B 2 B.

d. A preference relation (complete, reflexive and transitive relation)   that rationalizes the agent's choice may not exist   even though  the Weak Axiom is satisfied.

Sol.  Several of you have included (d), but that is not true in fact the revealed preferred relation itself would rationalize such a choice rule. (See Theorem 1, Lec Slides 1).

4) Fill in the blanks labelled “A” , “B” and “C” and “D” in the statement below. You will be able to enter your answer directly on Canvas Quiz portal.

A           Theorem ensures that         B          preferences on R have such a utility representation which allows us to apply         C        Theorem to gaurantee the existence of a solution  to the Utility Maximization Problem for any feasible set is        D       .

Sol.    A  - Debreu's Representation Theorem,   B  - “continuous” ,  C  - “Weierstrass Extreme

Value” and  D  - “compact” .        For B, if you add other assumptions such as completeness,

transitivity you lose points, since the definition of a perference relation already implies those properties.

5) Let X = {北 ; y ; zg and B = {{北 ; yg; {北 ; y ; zgg and C ({北 ; yg) = {北 g. Which of the following are consistent with WARP?

a. C ({北 ; y ; zg) = {yg

b. C ({北 ; y ; zg) = {北 g

c. C ({北 ; y ; zg) = {zg

d. C ({北 ; y ; zg) = {北 ; zg

Sol.   b, c, d  Only  y  C ({北 ; y ; zg) is implied by WARP.

6) We used            A            to connect preferences with observable demand and then made an assumption that preferences are           B         to deduce that the area under the curve shown in Figure 2 below is a measure of a consumer's utility when price of the good changes .

北i (pi ; pj ; y)

pa           pb               Price of Good i

Figure 2.  Marshallian Demand for Good i.

Sol.    A  - Roy's Identity,   B  - Homothetic

7)   Consider a typical utility maximizing consumer, with a continuous utility function defined over two goods. So X = R as usual  but with a small twist on the budget sets:

The cost of a unit of Good 1 consumed above 50 units is one and a half times the cost of a unit that good consumed up to 50 units. So depending on the income level, a typical “budget line” may look either the thick blue line or the thick black line, depending on whether the consumer has sufficient income to consume 50 units or not.

50                     x1

Figure 3.

Assume that Assumption 3 on preferences is met (so, in particular, there is a continuous utility function). Which of the following statements are true?

a. The “Extreme Value Theorem” ensures that the utility maximization problem has a well-defined solution for all (p ; y) >0.

b. For every (p ; y) >0,  there must be a unique utility maximizing choice.

c. Part (b) but only if preferences are also strictly convex and locally non-satiated.

d.  Since the budget sets are not convex, “Extreme Value Theorem” does not apply here.

Sol.   a, c    Each budget set for (p ; y) > 0 is a compact and convex.   By (Weierstrass) Extreme Value theorem, a utility maximizing choice does exit.   Without further assumptions this utility maximizing choice need not be unique, as illustrated below — when the indifference curve is the red line with a flat part.

2

50           x1

Figure 4.

But these indifference curves are not of strictly convex preferences.  However, with strictly convex preference we have and locally non-satiated preferences, we may apply Part 2, Theorem 2, Lecture 2 and then the solution is unique.

8)   Repeat the previous question, but this time assume that “Every unit of Good 1 consumed above 50 units costs   n—e——a——lf—t—i—te—s—t   half the cost a unit of consumption consumed up to 50 units” . Using a figure of the appropriate budget sets, answer which of the folowing  of the following statements  are true .

a. The “Extreme Value Theorem” ensures that the utility maximization problem has a well-defined solution for all (p ; y) >0.

b. For every (p ; y) >0,  there must be a unique utility maximizing choice.

c. Part (b) but only if preferences are also strictly convex and locally non-satiated.

d.  Since the budget sets are not convex, “Extreme Value Theorem” does not apply here.

Sol.  The same logic as in previous question  no longer applies in the new setting, since a typical budget set and indifference curves may look like those one shown  below:

2

A

B

50           x1

Figure 5.

The Theorem for uniqueness no longer applies since the budget sets are not convex. However the Extreme value Theorem continus to apply since they continue to be compact

9) The following is a Slutsky Matrix for some rational consumer in a three good economy at some  given (and fixed) (p ; u):

S  =   ¡c38  2   A

Using the properties of the Slutsky Matrix, we may conslude that

a. b = a and d = e.

b. a = c.

c.   ac< 16

d. None of the above.

Sol.   b, c   Symmetry of S  gives us c = a and d = e.  We need S to be negative semi-definite as well. For this, condition is det   ))  0 or ac< 16.

10) Suppose the expenditure function is given by the following equation: e(p ; u)  =    p1 +^p1 p2 +  p2 )u

At a target utility of u = 1, which of the following statements are true, where xh  is the Hicksian demand function?

a. x 1(h)(p ; u) >   and x2(h)(p ; u) >

b. x 1(h)(p ; u) <   and x2(h)(p ; u) <

c. x1 (p ; u) =  and x2 (p ; u) =

d. None of the above.

Hint: What Lemma connects Expenditure function with the Hicksian Demand? See Lec 3.

Sol.  Use Shephard's Lemma to get

x1(h)(p ; u)  =    p1 +^p1 p2 +  p2 )u

=    + )u