ECON6001/6701 Microeconomic Analysis 1, S2 2021 Problem Set 4

1. Take the “Duality” flow diagram given in your Lecture 4 slides (page 3). Verify  the entire diagram for the CES utility function

U (x1 ; x2)  =  (x1(p) + x2(p)) ; for p  1:

(You may take as given that this function is strictly quasi-concave).

Direct Utility to Marshallian Demand

We are given that U is strictly quasi-concave. Therefore the Marshallian demands may be characterized by ensuring that (a) MRS equals the negative of the price ratio and  (b) that the budget constraint is met.

Start with the marginal utility of each good MUi (x). Using the Chain Rule for differentia- tion,

MUi (x) =   =   (x1(p) + x2(p)) ¡ 1 p xi(p) ¡ 1

1

=  (x1(p) + x2(p)) p ¡ 1xi(p) ¡ 1 :

Therefore, at the Marshallian Demand x(p ; y) = (x ; x), we must have,

OR

)

MU1 (x)         p1

MU2 (x)  =  p2

 )p ¡ 1   =  

1

  =    )p ¡ 1 :                                                    (1)

(1) is one equation. The other equation is the budget constraint

p1x  + p2x  =  y                                                          (2)

Solve for the two unknowns x   and x  from the two equations  (1) and  (2) to get the Marshallian demands as follows:

From (1),

1

x  =   )p ¡ 1 x 

Therefore

1

p1x  + p2x  =  p1x  + p 2  )p ¡ 1 x 

=     p1 + p2  )!x 

=  p 1(¡) ( p 1(1)+  + p2(1)+ ) x 

(3)

At this point, to simplify the cumbersome exponents, the following notation suggests itself:

r  =  1 + 

p   

=

p ¡ 1

You may also veriy that

Also verify that solving out for p in terms of r from the above equation, we get

r   

r ¡ 1

 ¡ 1  =  ¡

We can therefore write the RHS of (3) more compactly

p1x  + p2x  =  p 1(¡)(r¡1)(p1(r) + p2(r)) x :

Since the above LHS equals income (see (2)) we have

p 1(¡)(r¡1)(p1(r) + p2(r)) x   =  y

or the demand function:

x1 (p ; y) = x   =   y

Similarly,

x2 (p ; y) = x  =   y

Indirect Utility Function.

v(p ; y)  =  U (x ; x)

1

=  (xp + xp) p

=    yp )

=  ((p1(r) ¡1)p +(p2(r)¡1)p)  y

=  (p1(r) + p2(r))   y

=  (p1(r) + p2(r)) p ¡ 1 y

=  (p1(r) + p2(r)) ¡ 1 y

OR                                v(p ; y)  =  (p1(r) + p2(r)) ¡ y

Roy's Identity  We need to verify

x1 (p; y)  =  ¡

Substituting for the indirect utility from (5) and calculating the RHS of the above we have

¡  @v(p ; y)

@y

¡p1(r) ¡1 (p2(r) + p1(r)) ¡ ¡ 1 y

(p1(r) + p2(r)) ¡

which is the RHS of (4) as required.

Expenditure Function.

Method 1. Using duality, i.e.  v(p ; y) = u ;    e(p ; u) = y .   So, in (5) set the LHS to u,and solve out for y = e(p; u)  to get the expenditure the expenditure function:

e(p ; u)  =  (p1(r) + p2(r)) u:                                                     (6)

Method 2. Solve the expenditure minimization program: For this, we pick a utility level u and find solution to the two equations

MU1 (x ; x)         p1

MU2 (x ; x)  =  p2

1

(xp + xp) p     =  u:

The first equation gives (1) connecting x  and x ,  which is now plugged into the second equation above to obtain the Hicksian demands.  e(p ; u) then equals p1x  + p2x .

Hicksian Demands via Shephard's Lemma

x 1(h)(p ; u)  =   (p1(r) + p2(r)) u )

=  p1(r) ¡1 (p1(r) + p2(r)) r ¡ 1 u:

Money Metric Utility

Using a base price p:

M (x ; p)  =  e(p ; u(x))

=  (p1(r) + p2(r)) (x1(p) + x2(p)):

2. Using the expressions you obtain in the previous question check that verify that the equa- tion for the  Slutsky matrix of substitution terms. Is the income effect always positive?

3. Consider following five observations of price - quantity pairs

(p1 ; p2)  (x1 ; x2)

Table 1.

a. Explain why this data is consistent with a consumer maximizing a concave utilty

function. (You might find it helpful to construct a 5 5 matrix of expenditures).

 Solution.    I have labelled the price-quantity pairs A-E and constructed the matrix

of expenditures.   That is, entry in the ith row and the jcolumn corresponds to the the cost of consuming the bundle xi  at the price pj .

pa   pb   pc    pd     pe

xa

xb

xc

xd

xe

We use i 下  j to denote i is revealed preferred to j (that is pi . xi  pixj )

xa 下  xb ; xa 下  xc xd 下  xa ; xd 下  xb ; xd 下  xc xe 下  xa ; xe 下  xb ; xe 下  xc

from column 1

from column 4

from column 5

We first verify the Weak Axiom holds:   we need to check that

not(xb ⃞  xa);    not(xc ⃞  xa)

not(xa ⃞  xd); not(xb ⃞  xd); not(xc ⃞  xd)

not(xa ⃞xe); not(xb ⃞xe); not(xc ⃞xe)

For example, to see that not(xb ⃞  xa)  holds, look at column 2. When the prices are 40 = pb . xb < pb . xa = 45. That is, at the prices pb, xa is not even feasible, so it is impossible for it to be revealed preferred  (let alone strictly) by xb .

But as we demonstrated via example in class, satisfying the Weak Axiom is not sufficient to ensure that the consumer is rational. For this, we need to check that the 下   is transitive  or that the Generalized Axiom of Revealed Preference (GARP) holds.

To verify that GARP is not violated, we note that there are only two indirect reveala- tions:  First since xd 下  xa and xa 下  xb,  xd is indirectly revealed preferred to xb . To ensure GARP, we must have not(xb ⃞  xd)  again, looking at the column 2, we note that xd is not feasible at prices pb .

Second, (similarly),  since xe 下  xa and xe 下  xb,  xe is indirectly revealed preferred to xb . To ensure GARP, we must have not(xb ⃞  xe)  again, looking at the column 2, we note that xd is not feasible at prices pb .

Thus, the given data  satisfies GARP.  Hence the given data is consistent with the that generated by some consumer maximizing a utility function.

b.  Plot all consumption points and the budget lines on a graph paper.  Using the Weak Axiom and the Generalized Axiom of Revealed Preference, indicate the shaded region through which the indifference curve passing through (15; 15) (the first consumption choice), might lie.

Solution.   Assuming monotonic preferences, and single valued choice, the indiffer-

ence curve through xa  must lie in the shaded yellow region.  The tutor will post a short video explanation.

xe

xa

xd

xc

Figure 1.

4. In terms of an expenditure function e(p; u),   we may write (See pg 10, Lec 4 slides for example)  compensating and equivalent variations as

CV  =  e(p0 ; u0) ¡e(p1 ; u0)

EV  =  e(p0 ; u1) ¡e(p1 ; u1)

where (p0 ; u0) and (p1 ; u1) are the initial and final price/utilty pairs.

For the utility functions given in Q1 above, check the relation between CV, EV and consumer surplus. (Hint: Do not use brute force. By duality, we need only compare the areas under Hicksian demand and Marshallian demand functions. Your answer to Q2 may help.)

Solution.  We simply note that for the Marshallian Demand

@x1 (p; y)           p1(r) ¡ 1    

So for this utility function, the income effect is positive. Hence this is a  normal good . Fix p2 . Treating the  Marshallian demand x1 (p1 ; p2 ; y) and the Hicksian Demand  x1(h)(p1 ; p2 ; y) only as a function of its price p1 ,  we note that (because it is a normal good) they are all downward sloping and the Hicksian Demand is flatter than the Marshallian Demand.

Bearing this in mind, the two cases are depicted below in the next two figures.  The Hicksian demand for the original utility is shown in blue and that for the final utility after price change is shown in brown. The area under the blue curve between p0 and p1 is therefore CV. The area under the brown curve is EV. Consumer surplus (CS) the area under hte black curve.

xh (p; u0)

1

xh (p; u1)

p0                                        p1

Figure 2.  If price of Good 1 rises from p1 = p0 to p1 , then, u0 > u1and the relation between the Hicksian and Marshallian Demand curves is as depicted. In this case, thereofre, EV< CS< CV.

xh (p; u1)

0

xh (p; u0)

p1                                        p0

Figure 3.  If price of Good 1 rises from p1 = p0 to p1 , then, u1 > u0and the relation between the Hicksian and Marshallian Demand curves  is as depicted below. In this case, thereofre, CV< CS<

EV.

5. Pick any x0   and set U (x0) = u0 .   Let B = {y 2 Rj y  x0g. Note that the expenditure e(p; u0) for any price p >0 is

e(p; u0)  =  minp . y   s:t:   y 2 B :