ECON6001/6701 Microeconomic Analysis 1 Problem Set 2

Exercise 1.   Let X = {x ; y ; zg and B = {{x ; yg; {x ; y ; zgg and C ({x ; yg) = {xg. Show that if (B ; C) satisfies WARP, then y  C ({x ; y ; zg).

Solution.  x 2 C({x ; yg) but y  C ({x ; yg). Since we have exhibited a choice set, namely {x ; yg at which x is chosen but y is not, even though both were in it, x is strictly revealed preferred to y , i.e. x ⃞  y . Now,  by of contradiction, suppose  y 2C({x ; y ; zg); then by definition y 下  x,  but this violates WARP. So, if WARP is satisfied,  y  C ({x ; y ; zg).

Exercise 2. A selection of problems to get familiar with indifference curves/sets. Assume X = R .

1) Draw some indifference curves of a DM who likes more of G1 but less of G2.

I  See the pic below, the one on the left displays convex preferences (and therefore an answer

to the next question).

G2

G1                                                         G1

Figure 1.

2) As above, but this time ensure that convex preferences are represented. (For convex prefer- ences, for any pair of indifferent bundles, the average bundle is strictly preferred to either in the original pair.)

3) In the various panels below, I have drawn some indifference curves — a set in case of (C), the blue band. For each of these, explain which of the assumptions: Completeness, Transitivity, Continuity, Local Non-satiation, Convexity and Monotonicity are violated.

G2

G2

C

A

B

I1

I2

(A)              G1

G2

(C)            G1

I  (A) Pick three points A ; B and C on the two indifference curves as shown above. A ; B lie on

I1 and B ; C  lie on I2, the two indifference curves. Therefore, A  B and B  C. However, A and  lie on different indifference curves, therefore  not(A  C). Hence 下 is not transitive.

(B)  There is a bliss point, so does not satisfy local non-satiation. Preferences are however strictly convex, and continuous.

(C) The entire shaded region is an indifference set — hence local non-satiation is violated. Moreover, that indifference set does not contain its upper boundary, hence it is not closed, which in turn means that the preference is not continuous.

(D) All the usual properties are met except convexity — not every line joining a pair of points on a given indifference curve lies  above it, as depicted above.

4) In comparing a pair of bundles of fruit (apples and oranges), the consumer strictly prefers the bundle that has more fruit in total. If both bundles have the same number of fruit, she strictly prefers the one with more oranges. Draw some indifference curves for this consumer. What property does this preference relation violate?

I  These are like lexicographic preferences considered in class. They are discontinuous. Pick

any pair of consumption  x = (x1 ; x2) and y = (y1 ; y2). Then

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x ⃞ y  ,  <

(

x1 + x2 > y1 + y2

OR

(x1 +x2 = y1 + y2 andx2 > y2)

So, for example, if we take a sequence xk  =  ¡ 1 +  ; 2 ¡ ) and y = (0.5; 2.5), then throughout the sequence x1(k) + x2(k) = 1 +  + 2 ¡  = 3 +  > 3 = y1 + y2 . Hence xk ⃞ y while limk !1xk = x* = (1; 2). Since x 1(*) + x2(*) = 3 = y1 + y2, we compare the second coordinate, and 2.5 = y2 > x2(*) = 2.  Hence y ⃞ x* , thus violating the definition of continuity.

Moreover, for x  y, we need x1 +x2 = y1 + y2 and x2 = y2 . But these equations imply x1 = y1, i.e.  x = y.  In other words, each indifference “curve” passing through x is   the singleton I (x) = {xg.    These preferences cannot also do not admit a utility representation.

Exercise 3. The following describes some choice scenarios for a DM (Decision Maker) where you are asked to think about compactness etc. of choice sets

1. A DM can work up to 24 hours in a day, except that she needs  must exit the building at midnight. She can also consume “food” during the day.

a) What is the consumption set?  Is it closed? Is it bounded?

I  Let x1 denote consumption of food and x2 the consumption of leisure in a day. We

may continue to take the consumption set the north-east quadrant,  X = R, or all pairs (x1 ; x2) such that x1   0 and x2   0, even though presumably the consumer cannot choose any x2 > 24. With this choice of X , it is closed but not bounded.

So, how does one include fact that the consumer cannot choose x2  > 24?  This is achieved by appropriately defining the class of B.   A choice-set B 2 B consists of elements form X which are feasible for the consumer. Most generally, this depends on the prices, income (the economic variables) and other possibly physical constraints.

A description of a typical choice set for this question is given in the solution to the next part.

b) If we specify a wage rate w>0 and a price for food p>0, what might a typical choice set look like? Will it be compact?

I  When the consumer chooses x2 units of leisure, we presume that she was workign the

remaining (24¡x2) hours, which at the wage w gives her an income of y = w(24¡x2). At price p, consumption of x1 units of food costs p x1 . So, the “budget constraint” is that any (x1 ; x2), we must have

OR

px1   <  w (24¡x2)

px1 + wx2   <  24w

(1)

Further consumption of food must non-negative, i..e

x1  0:

But leisure must be positive— why? Because she must exit the building at midnight — she can work as close to midnight — but must be out by midnight!! And she cannot consume more than 24 units of leisure. So

x2 > 0    x2 < 24:

Therefore, a typical B 2B takes the form

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B  =   <(x1 ; x2) 2 Xj

(

0<x1                                9

0<x2 < 24              =

Such a B is clearly bounded, but it is not closed?  Why?  Convince yourself with diagram.

One  mathematical argument is as follows: Consider the sequence xk = (x1(k) ; x2(k)) such that x1(k) =  and x2(k) =  . Such a xk 2 B for all k  1. But the limk !1xk = (0; 0) and (0; 0)  B .

2.  (Don't worry if you are unable to do this problem. Give it a try!)

There are three possible outcomes  :  “nice” ,  “not bad” and “terrible” . An alternative for the DM is  a lottery that results in exactly one of these three outcomes with give probabilities. What is the consumption set?  Is it closed? Is it bounded?

Solution.

*