ECON6001/6701 Microeconomic Analysis 1 Problem Set 1

* Several of the following are taken from Rubinstein's text.

Exercise  1.  In each part of this question below, I describe a choice rule.  In each case, verify whether the choice rule statisfies Axiom a, Axiom p .

Note: I am referring to Condition a and Condition p as  Axiom a and Axiom p.

1) For any given set choice set B ,  the decision maker's (DM) choices C (B) consist of those alternatives that maximize another person's suffering. Hint: Just as you have a preference relation in standard consumer theory to describes tastes, instead now let 下 denote the “suffering” relation of the other person.  That is x 下 y means x causes at least as much suffering as y etc.

I   If 下 is well-behaved, say to the extent of admitting a “utility” representation, then our DM

(decision maker) would naturally satisfy both a and p by .  On the other hand, suppose 下 is not transitive or does not satisfy one of the two conditions, then the DM would also not satisfy those conditions correspondingly. On the other hand, if the relation is not transitive, these conditions can fail. For example take X = {x ; y ; zg and suppose x ⃞ y , y ⃞ z and z ⃞ x. Then for A = {x ; yg and B = {x ; y ; zg, C (A) = {xg but C (B) = ;.

2) A DM has two children, each of them have a well-defined utility functions over the set of alternatives. The DM's choice is aimed to maximize the average utility of his two children.

I  If u1 (x) and u2 (x) are the utilities for x of the two children, then u(x) = (u1 (x)+u2 (x))/2

is the utility of the decision maker. He is still maximizing a real-valued utility function. So, both conditions will hold.

3) DM has a  well-defined strict ranking over the finite set of alternatives X = {a ; b ; c ; d ; eg. Without loss of generality, assume a⃞b⃞c⃞d ⃞ e. His choice rule picks the median ranked alternative whenever a choice set B has an odd number of elements.

I  The median is the is the “middle” ranked alternative. Consider the choices sets A = {c ; d ; eg

and  B = {a ; b ; c ; d ; eg. We have C (A) = {dg and C (B) = {cg according to the specified rule for these two sets consisting of an odd number of elements.

This clearly violates Condition a (since in words “c is chosen in the larger set B , it continues to be available after discarding a and e from B to get A, and at A  the choice is d instead of c”).

To check if Condition p is violated in a non-trivial manner we need to have situations where choice sets  A  B and C (A) has multiple elements . This is not possible in this example with the provided information.

4) The decision maker has an ideal point in mind and chooses the alternative that is closest to it.

I  This is easy. Let x0  denote the ideal point. With the use of the word “closest” ,  one might

imagine that there is a distance function d(x ; x0) (presumably  with d(x0 ; x0) = 0 and d(x ; x0) >0 if x x0). Then, we may simply take the DM's utility function to be u(x) = ¡d(x ; x0) and conclude readily that both a and p are met.