ETF2700/ETF5970 Mathematics for Business Assignment 1 (Semester 2, 2022)

Submission

This assignment contributes 10% to the overall assessment. You must submit all pages of your answers on Moodle. An assignment cover sheet (with your detailed information) is required to be attached as the front page of your submission. In case that you are unable to merger two documents into one, you are allowed to upload the cover sheet as a separate document.

The due time is 23:50 Sunday the 11th of September 2022.

You need to ensure the following requirements:

(a) You need to type your answer to each question in a document using Microsoft Word (or LaTex via Overleaf).

(b) If a question has sub-questions for example (1), (2), etc., please clearly indicate question numbers.

(c) If Moodle has system errors after 6pm on Friday the 9th of September, you can email your document(s) to etf2700.caulfi[email protected]. In this situation, your file name should be in the format “Surname.ID.pdf” or “Surname.ID.docx”.

(d) The lecturer and tutors will not answer any request or question that is directly related to assignment questions before the due time.

Further Information

(a) A penalty of 10% of the total mark of this assignment will be deducted for each day overdue, up to 4 days.

(b) An assignment cannot be submitted if it is overdue by more than 4 days, except for an approval from the chief examiner.

(c) Extensions beyond the due date will only be allowed in special circumstances. You may visit

https://www.monash.edu/exams/changes/special-consideration

for the university policy and application procedure for special consideration.

(d) If you don’t understand what a question asks, you need to

•  study the unit’s content prior to attempting the tutorial and assignment ques- tions. This should enhance your ability to understand the questions.

•  ask a staff member to clarify the question for you. A staff consultation schedule is on Moodle.

Questions

Important: There are 5 questions. Please attempt all the questions, show all the steps of your calculations, and provide explanations to justify your answers. To obtain full marks, it is important to provide complete answers supported by logically sound explanations, unless the question explicitly states that no explanation is needed. It is not sufficient to simply provide calculator instructions.

Question 1 (20 marks)

(1) We have three matrices given as follows:

B =  ┌ 2

' 0

2   ┐

– 1 ' |

C =  ┌   2

'  – 1

2   ┐

–2 ' |

D =  ┌ 1

' 0

1 ┐

2 ' .

Another 2 乂 2 matrices X and Y satisfy BX = D + X and YB = C. Compute X and Y (show necessary steps).

(2)  Calculate, step-by-step, the first and second derivatives and the maximum value of the following functions. You may assume that the maximum points exist in all cases.

(a)  f (子) = –2子2 + 10子 – 8, 子 é [3| 5]

(b)  f (子) = 10 –  , 子 é [5| 10]

(c)  f (子) = –e6x + 6ex , 子 é ( –&| &)

(d)  f (子) = – ln(子2 + 2子 + 2), 子 é ( –&| &).

Question 2 (10 marks)

A food retail shop sells pies for $5 each. The daily cost function has the form C(子) = 1.2子 + 12 + 0.01子2 |

where 子 is the number of pies sold on a typical day.

(1) Write down the daily total revenue function in 子 and specify its domain.

(2)  Compute the first-order derivative and the stationary point of the daily total revenue function.

(3) Find the value of 子 that will maximise the daily total revenue function.

(4) Use the second derivative to confirm that the stationary point derived in (2) is a maximu point.

Question 3 (30 marks)

A furniture company produces school tables and chairs. The production of each product requires a certain number of hours of carpentry work and a certain number of labour hours of painting work. Each table takes 4 hours of carpentry and 2 hours of painting; and each chair requires 3 hours of carpentry and 1 hour of painting.

At the beginning of June 2022, the company had a stock of 45 tables and 60 chairs. By the end of June, the company needs to meet an order of 60 tables and 90 chairs from a local school. Under the condition that this order has to be met on time, the company’s goal is to maximise the combined sum of the numbers of tables and chairs after the order is delivered.

Under the current working condition, the company can allocate 240 hours of carpen- try work and 100 hours of painting work.

(1) Formulate the constraint maximisation task as a linear programming problem. You need to specify the target function to be maximised, and all constraints to be imposed.

(2) Present a hand-drawing graph to illustrate this maximisation problem. A ruler needs to be used when drawing straight lines, and the coordinates on the vertical axis and horizontal axis need to be marked. Note that you can take a photo of your graph and submit it together with your answer sheet.

(3) Find out all possible points, which are most likely to be the maximum point (that is, the point which maximises the target function).

(4)  Of all the points identified in (3), decide which point is the solution to this maximisa- tion problem.

Question 4 (20 marks)

Suppose that your company is the only one in a certain type industry, and you can determine the market price P é [4| 10]. The market demand Q satisfies a function in P given by

Q = –P2 + 10P + 23)

(1)  Compute the price elasticity of demand, that is, ElP Q(P), at P = 8. Interpret the result from an approximation point of view.

(2) Write down the total revenue function in P. Remember to define the domain.