ECOM30002/90002 ECONOMETRICS 2 SEMESTER 2, 2022 ASSIGNMENT 3

Section 1

In this section, you will carry out a simulation experiment in R to investigate the statistical properties of OLS and IV in a causal model with heterogeneous effects.  Report any numbers to the third decimal place.

Important

–  Fix the random seed in R as rseed(2022) so that your results are replicable.

– You must append a complete copy of the R script that you have used to generate your results to your solutions to this assignment.

–  The appended R script needs to replicate all your simulation results in this section.  I.e., if your appended R script is copy-pasted into R Studio and run, all your result in this section

need to be produced and printed without the person who replicates it needing to manually change anything.

Consider the following data generating process  (DGP). There is a binary treatment which defines two potential outcomes for every unit i:  Y1i  and Y0i .  The potential outcomes follow the bivariate normal distribution

(Y1i, Y0i)\ I N ╱╱ \0(1) , ╱2σg2     \\ ,          

with σ e {1, ). There is also a simulated flipping of a coin. Let

Zi =                                                                                                     

where Ri  is a uniform random variable, Ri I Uniform(0, 1). The resulting random variable Zi represents the flip of a coin. The probability P (Zi = 1) is 0.5.

You study three ways in which treatment can be assigned to units:

A.  Units are assigned to treatment by flipping the (simulated) coin:

XAi = Zi

where XAi  is a binary indicator of having received the treatment.

B.  Units with a positive treatment effect receive the treatment: XBi =

where βi  denotes the individual treatment effect, βi = Y1i . Y0i .

C. A combination of A and B: If Zi = 0, then XCi = 0.     If Zi = 1, then

XCi =

Each of the above three ways A–C of assigning treatment gives rise to a particular observed dependent variable: YAi = Y0i + βiXAi; YBi = Y0i + βiXBi; and YCi = Y0i + βiXCi .

1.  Derive the distribution of the individual treatment effects, βi .  If the distribution depends on σ, give the distribution for each of σ = 1 and σ = 3/2.

Remember the following property of normal random variables:  Let W ~ N (µw, σw(2)) and V ~ N (µv, σv(2)), then

W + V ~ N (µw + µv, σw(2) + σv(2) + 2σwv), where σwv  = Cov(W, V).

2. What is the average treatment effect, E(βi) in this DGP? What are the average treatment effects on the treated (ATT) for the treatments A and B? That is, what are E(βi|XAi = 1), and E(βi|XBi  = 1)?  If any of the treatment effects depends on σ, give the values for both σ = 1 and σ = 3/2.

To find the ATT for B use the following property of normal variables. Let V ~ N (µv, σv(2)), then

E(V |V > c) = µv + σvλ(), where λ(·) =  and φ(·) and Φ(·) represent the normal pdf and cdf, respectively (in R: dnorm() and pnorm()).

3.  Draw one random sample of size n = 100, 000 from the DGP with σ = 3/2 and empirically calculate E(βi), E(βi|XAi  = 1), E(βi|XBi  = 1) and E(βi|XCi  = 1) in the simulated data. Run the three simple OLS regressions of YKi  on XKi  where K e {A, B, C) and report the slope coefficients.  In which case or cases do the coefficients identify the respective ATTs? Explain.

4.  Now you will conduct a simulation experiment based on repeated samples where we focus only on the DGP with the third way of assigning treatment, C. For each of the four combinations of σ = {1, 3/2) and sample size n = {50, 500), draw 1,000 repeated samples (aka replications) and run both an OLS and an IV regression of YCi  on XCi .  For the IV regressions, use Zi as an instrument for XCi .  Present a table with the mean and standard deviation of the estimated OLS and IV slope coefficients.

5.  For each of the four simulated DGPs, present a figure with the estimated densities of βˆ1(oLs) and βˆ1(Iv) .  (Note: See Tutorial 7 for figures of estimated densities.)

6.  In each of the replications from part 4 also perform two tests (at the 95% significance level) involving the IV estimate of the slope coefficient.  Tqhe first test is of the null hypothesis H0  : β1(Iv)  = E(βi|βi  > 0), and the second one of H0  : β1(Iv)  = E(βi) (remember that you calculated the values of these causal effects in part 1).  Present a table with the rejection frequencies for each of the tests in each of the four simulated DGPs.

7.  Discuss your findings from part 4 and 5. In which ways are the OLS and IV results similar or different?   How do the results you present relate to the theoretical properties of the estimators?

8.  Discuss your findings from part 6.  What does the rejection frequency represent in each of the two tests? How do the features of the DGPs (σ, n) influence the tests?

Tips for coding the simulation in R

● The simulation (from part 4 on) is similar to the ones you have discussed in the tutorials. You can use those simulations as a guide on how to set up and structure your simulation. In particular, you can write your simulation around two nested for() loops:

– the outer loop just needs to loop over the four values of (σ, n). You can also write this as two loops, one over σ and one over n

– the inner loop needs to loop over the 1,000 repeated samples, in each of which you draw the n observations of all the Y1i, Y0i, Ri  variables variables, generate the corresponding Zi, XCi , and YCi  variables, run the OLS and IV regressions, perform the hypothesis tests, and store the slope coefficients and the decisions from the tests (reject or not reject) in appropriate, previously created, storage matrices.  (For the tests, instead of the decisions, you can alternatively store the test statistics or p-values in the storage matrices and apply the decision (reject/not reject) to the elements of those matrices.)

● General coding tips:

–  Try not to write a for() loop in one go.  Make sure that the code works for a single sample, then slowly generalise it to a for() loop.

– When testing for() loops, you can use a small number of replications so that the code runs faster. Just remember to change it back when you are sure it works!

–  Leave comments on your code regularly.

Section 2

JD Angrist and WN Evans  (1998, “Children and their parents’ labor supply:  Evidence from exogenous variation in family size”,  Quarterly Journal of Economics, 88(3), 450–477) used the sex composition of a family’s first two children as an instrumental variable to estimate the causal effect of having a third child on the mothers’ labour supply using a random sample from US census data. In this section, you will use a subset of their data to estimate models similar to theirs. This sample, included in the file pums80 .csv, consists of observations measured in the year 1980 on 254,654 married women. The variables from the data used in this section are

The causal model of interest is

incomemi = β0 + β1morekidsi + Xβ + Ui ,                                                                           (6)

where Xi  contains agem1, agefstm, black, hispan and othrace.

Consider the (blank) table of estimation results below and answer Questions 9– 15.  For ques- tions requiring numerical answers:  give answers to one decimal place for estimated coefficients, standard errors and test statistics, and to three decimal places for p-values.

Table A: The effect of family size on women’s income

Note: Cells in first panel show estimated coefficients for morekids and robust standard errors (in parentheses). Exogenous covariates (xi ): dummy variables for black, hispanic and other

race (excluded: dummy for white); mother’s age at first birth; mother’s age.