ECON 3330 ECONOMETRIC ANALYSIS / ECON 7331 ECONOMETRIC THEORY Tutorial 1 Questions

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON 3330 ECONOMETRIC ANALYSIS / ECON 7331 ECONOMETRIC THEORY

Tutorial 1 Questions

The tutorial questions are taken from Abadir, K.,   Magnus, J.  (2005).  Matrix Algebra  (Econometric Exercises). Cambridge:  Cambridge University Press.  You can find the textbook online from UQ library.  Exercise number for each question is given as a reference for you to be able to find the question from the textbook.

1.  Exercise 1.4 (Vector addition) Let x, y, and z be vectors of the same order.

a.  Show that x + y = y + x (commutativity).

b.  Show that (x + y) + z = x + (y + z) (associativity).

2.  Exercise 1.7 (Inner product) Recall that the inner product of two real vectors x and y in Rm is defined as ⟨x,y⟩ := 对 xi yi . Prove that:

a.  ⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩;

b.  ⟨x,y + z⟩ = ⟨x,y⟩ + ⟨x,z⟩;

c.  ⟨λx,y⟩ = λ⟨x,y⟩

d.  ⟨x,x⟩ ≥ 0 with ⟨x,x⟩ = 0 ⇐⇒ x = 0

3.  Exercise 1.8 (Inner product, numbers) Let

\ 1                 \ 4                 \1                 \ 3

x =  ( 2 ),     y =  (−5),     z =  (1),     w =  (α)

Compute ⟨x,y⟩, ⟨x,z⟩, and ⟨y,z⟩, and find α such that ⟨y,w⟩ = 0.

4.  Exercise 1.10 (Triangle inequality) For any vector x in Rm the norm is defined as 1/2 the scalar function ∥x∥ := ⟨x,x⟩1/2  . Show that:

a.  ∥λx∥ = |λ|∥x∥ for any scalar λ;

b.  ∥x∥ ≥ 0 with ∥x∥ = 0 if and only if x = 0;

c.  ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ for every x,y ∈ Rm , with equality if and only if x and y are collinear

5.  Exercise 1.12 (Orthogonal vectors) Two vectors x and y for which ⟨x,y⟩ = 0 are said to be orthogonal, and we write x⊥y . Let

α =  (  )2(1) ,     b =  (  )0(1)

a.  Determine all vectors that are orthogonal to a.

b.  Determine all vectors that are orthogonal to b.

c. If x⊥y, prove that ∥x + y∥2  = ∥x∥2 + ∥y∥2  (Pythagoras).