ECON3152/4453/8053 Tutorial 5

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ECON3152/4453/8053 Tutorial 5

2022

1.  There is a principal and an agent.  If the agent chooses to work for the principal, a verifiable output y  ∈ Y will be produced.  Y is a finite set consisting of elements y1   < y2   < ... < yn  with n > 2.  The timing is as follows: the principal offers a contract with compensation s : Y → [0, ∞), the agent decides whether to accept the contract and chooses effort e ∈ {0, 1} if he accepts the contract. The probability of output yi  conditional on effort e is fe (yi ) > 0 for e = 0, 1 and i = 1, ..., n. Of course, ∑ fe (yi ) = 1 for e = 0, 1. Once output y ∈ Y is realized, the compensation s(y) is paid. If a contract is rejected, the agent’s payoff is u and the principal’s payoff is zero.  The agent’s payoff is h(s(yi )) − ce if he accepts the contract, exerts effort e and produces output yi , where h is a strictly increasing, strictly concave and continuously differentiable function and c > 0. The principal’s payoff is yi  − s(yi ) if her contract is accepted and the output is yi .  Assume that c and u are so low that the principal offers a contract to induce effort e = 1 in the subgame perfect equilibrium. Derive a sufficient condition for the equilibrium contract s to be non-decreasing.

2.  There is a principal and an agent. If the agent chooses to work for the principal and exert effort e ∈ Rn , a random output y ∼ N (f · e, σ 2 ) and a performance measure vector z ∼ N (GT e, W) are generated, where f ∈ Rn , G is an n × m matrix and W is a positive definite m × m matrix. The output is not verifiable but the performance measure is. The principal is constrained to offer an affine contract paying the agent w + b · z where w  ∈ R and b ∈ Rm  can be chosen by the principal.  The agent’s (certainty equivalent of expected) payoff from such a contract and effort e is w + bT GT e − γbT Wb −  |e|2 , where γ  > 0 measures the agent’s risk aversion and his (certainty equivalent of) payoff from rejecting the principal’s contract is u.1   The principal’s expected payoff is zero if the contract is rejected and f · e − w − bT GT e if the contract is accepted and effort e is chosen. Assume that u is so low that the principal always offers

an acceptable contract in the subgame perfect equilibrium.

(a)  Find the essentially unique subgame perfect equilibrium.

(b)  Compare the effort chosen under the equilibrium contract and the first best effort which maximizes f · e −  |e|2 .

(c)  Discuss how the effort depends on the risk aversion V .