EMET3007/8012 Assignment 1

EMET3007/8012 Assignment 1

Instructions:  This assignment is worth either 20% or 25% of the final grade, and is worth a total of 50 points. All working must be shown for all questions. For questions which ask you to write a program, you must provide the code you used, either in-text or as an appendix. If you have found code and then modified it, then the original source must be cited. The assignment is due by 5:00pm Wednesday 24th of August (Wednesday of Week 5), using Turnitin on Wattle. This already includes a small exten- sion from the date noted on the Class Summary. Late submissions will not be accepted without prior written approval. Good Luck.

Question 1 [8 points]:  Suppose X1, . . . , Xn  are iid random variables with mean u and finite variance a2 .

a) Find the expected value and variance of the sample mean X¯ =   Xi

b) Show that the sample average squared difference from the sample

mean

is a biased estimator of a2 . i.e. show that E 2   a2 .

c) Find an unbiased estimator for a2 .

d) Let X  =  (X1, . . . , Xn)\  and let 1n  denote an n x 1 column of ones. Show that E1 Xi(2) = X\X and X¯ = 1X.

[Important for later in the course: This result relies on the Xi’s being iid. If the Xi’s are not iid, then the result may not hold.]

Question 2 [5 points]: Write a Matlab (or other) program to generate data from the trend-cycle model

yt  = mt + ct + et,   et  ~ N(0, a2 )

mt  = a0 + a1ea2 t

ct  = b1 sin(ot) + b2 cos(ot)

a) Plot one realisation of the model with T = 60, a0 = 50, a1 = 0.2, a2 = 0.11, b1 = 10, b2 = 20, o = 元/6, a2 = 25.

b) Modify the model to have a cycle term t  where 1   =  c1, and for

t > 1,

Plot one realisation of the model with this new cycle term and the parameters given in (a).

c) If we wanted to model GDP, which model do you think would be more useful/accurate and why?

Question 3 [6 points]: Write a Matlab (or similar) program to generate data from the following mean-reverting process:

yt  = u + o1 yt -1 + o2 yt -2 + et,   et  ~ N(0, a2 )

for t = 1, . . . , T with the process initialised at y-1  = y0  = 5u.  Plot one realisation of the process with T = 150, u = 15, o1  = 0.2, o2  = 0.6, and a2 = 16.

This process is reverting toward a mean. What is the mean of this pro- cess (in theory)? How closely dies this match the sample mean from your realised data?

Question 4 [7 points]: Suppose we wished to make an iterated two- step-ahead forecast under the mean reverting process in Question 3. (This question is a theory-question. Do not use the data you generated in Ques- tion 3.)

a) Compute the (theoretical) conditional expectation E(yT+2   | IT, 9),  where IT is the information set available at time T, and 9 = (u, o1, o2 )1 .

b) In what sense, if any, is this point forecast optimal? Briefly explain.

c) Compute the (theoretical) conditional density f (yT+2  | IT, 9).

d) In practice we cannot usually construct f (yT+2   | IT, 9) as 9 is un- known. Given this, how might we proceed in practice?

Question 5 [14 points]: Suppose we wish to compare the forecast accu- racy of two simple methods for forecasting the Canberra inflation rate: (1) the mean using data up to the most recent observation, and (2) a random- walk method that uses only the most recent observation. The evaluation

Table 1: Canberra CPI Inflation rate per quarter from ABS

period is from 2016 Q3 to 2021 Q2. For measures of accuracy, we consider MAFE and MSFE.

a) Use the two methods (historical mean and random walk) to produce one-step-ahead forecasts for each quarter from 2016 Q3 to 2021 Q2. For each method, graph your forecast against the actual data.

b) Compute the two measures of forecast accuracy for the two methods. Which model performs better according to these measures?

c) Find one additional measure of forecast accuracy (online or else- where). Describe this measure, and compare the two models under this new measure.

d) A large portion of the error in your forecasts is coming from a small number of outlier datapoints. Identify these datapoints, and describe what real-world event is driving this anomaly.

e) Find the actual 2022 Q1 Canberra CPI inflation rate from the ABS. Compare the realisation to your forecast.

Question 6 [7 points]: Prove the following theorem: Given a density forecast f (yT+h  | IT, 9) and the absolute loss function L(, y) = | - y|, the point forecast which minimises expected loss is the median mT+h . Note: the median is the unique value mT+h  such that yT+h  is as equally likely to be above mT+h  as below it. Mathematically, mT+h is the unique value which satisfies

f (yT+h  | IT, 9)dyT+h  = -o

+o                                                              1

f (yT+h  | IT, 9)dyT+h  =   

Clarification: The task in this question is to show that to minimise ab- solute loss, the modeller should set T+h  = mT+h .

Question 7 [3 points]: Suppose you are an intern at a company. For a meeting you are responsible for bringing the requisite background mate-