ECOM30001/ECOM90001: Basic Econometrics Semester 1, 2022 Solutions: Tutorial 3

This tutorial reviews some fundamental concepts for the basic linear model, including conducting hypothesis tests about a single coefficient, using the econometrics software

package R that we will be using in this subject.

This tutorial requires one data file:

-  cocaine .csv

This file can be obtained from the LMS subject page.

In addition the R script file tut3 .R provides the program code necessary to complete the tutorial. This R script file uses the following package(s) which need to be installed prior to running the R script file:

stargazer : for easily generating summary statistics for an R data file

These can be installed directly in RSTUD1o from the packages tab or by using the com- mand install .packages() and inserting the name of the package in the brackets.

Question 1 (Hill, Griffiths & Judge Exercise 5.5)

Consider the following econometric model for prices of owner-occupied homes in a metropoli- tan area surrounding a major city.

VALUEi  = β0 + β1   CRIMEi + β2   NITOXi

+ β3   ROOMSi + β4   AGEi + β5   DISTi

+ β6   ACCESSi + β7   TAXi + β8   PTRATIOi + εi These variables are defined as:

VALUE  =  median value of owner-occupied homes in $’000’s

CRIME  =  per-capita crime rate

NITOX  =  nitric oxides concentration (parts per million

ROOMS  =  average number of rooms per dwelling

AGE  =  proportion of owner-occupied dwelliingsbuilt prior to 1940 DIST  =  weighted distance to five employment centres

ACCESS  =  index of accessability to radial highways

TAX  =  full-value property tax rate per $10,000

PTRATIO  =  pupil-teacher ratio by town

Suppose you have data on 506 local census areas within the major city. An OLS regression provides the following estimates:

Dependent Variable: VALUE

Sample: 1 506

Included Observations : 506

Variable     Coefficient   Std.Error   t-statistic    Prob.

a) Report briefly how each of the explanatory variables affects the value of a home.

Solution  Recall  that the  dependent variable  (median  value  of owner-occupied homes) is measured in $’000’s.

·  b1  = _0.184—as the per-capita crime rate increases by one unit, the median

home value falls by $183.45.

·  b2  = _22.81088—a one unit increase in the nitric oxide concentration leads to

a decline in median value of $22,810.

·  b3  = 6.371512—increasing the average number of rooms by one unit raises the

median value by $6,372

·  b4    =  _0.04775—a  one  unit  increase  in  the  proportion  of owner-occupied

dwellings built prior to 1940 reduces the median home value by $47.75

·  b5   = _1.335269—for every unit of weighted distance from five employment

centers, the median home value declines by $1335.27

·  b6   =  0.272282—a one unit increase in the index of accessability to radial

highways raises median value by $272.82

·  b7  = _0.012592—a higher property tax rate per $10,000 lowers the median

home value

·  b8  = _1.176787—a one unit increase in the pupil-teacher ratio lowers median

value by $1176.78

b) Test the hypothesis that increasing the average number of rooms by one changes the median value of a house by $7, 500.  Your answer should clearly state the null and alternative hypotheses, the distribution of the test statistic, and your decision.

Solution: This hypothesis may be represented as H0  : β3  = 7.5 since the dependent variable is measured in $1000. Consider a two-sided alternative:

i) specify H0  and HA :

H0  : β3  = 7.5

ii) the test statistic :

t =

iii) the level of significance:

α = 0.05

b3 _ 7.5 se(b3 )

HA  : β3   7.5

? t(N _ 9)

tc  ~ 1.96

with degrees of freedom N _ 9 = 497.  Reject H0  if t < 1.96 or t ● _1.96. Note that the file tut3 .R provides an exact critical value of tc  = 1.964749 and _tc  = _1.964749.

iv) regression results

b3  = 6.371512                                                                          se(b3 ) = 0.392387

v) calculate the sample value of the test statistic

b3 _ 7.5      _1.128488

se(b3 )        0.392387

vi) apply the decision rule:

t < _tc

so reject the null hypothesis. The data are not consistent with the hypoth- esis that changing the number of rooms raises the median value of a house by $7,500.

Alternatively, the p-value fore this test is given by p = 0.0042. Since p < 0.05, then reject H0 . Check the file tut3 .R for the calculation of this p-value.

c) Test the hypothesis that reducing the pupil-teacher ratio by 10 will increase the median value of a house by more than $10, 000.  Your answer should clearly state the null and alternative hypotheses, the distribution of the test statistic, and your decision.

Solution: We want to test HA  : β8  < _1:

i) specify H0  and HA :

H0  : β8  < _1                                                                                 HA  : β8  < _1

ii) the test statistic :

b8 _ (_1)

se(b8 )

iii) the level of significance:

α = 0.05                                                                                              tc  ~ 1.645

with degrees of freedom N _ 9 = 497.  Reject H0  if t ● _1.645 since this is a one-tailed test. Note that the file tut3 .R provides an exact critical value of tc  = _1.647925.

iv) regression results

b8  = _1.176787

v) calculate the sample value of the test statistic

se(b8 ) = 0.139415

b8 + 1      _0.17679

se(b8 )      0.139415

vi) apply the decision rule.   We will reject H0  when t  <  _tc .   Since t  >  _tc , do not reject the null hypothesis.  The data are not consistent with the hypothesis that reducing the pupil-teacher ratio by 10 will increase the median home value by more than $10,000.

Alternatively, the p-value fore this test is given by p = 0.1027. Since p > 0.05, then do not reject H0 . Check the file tut3 .R for the calculation of this p-value.

Note: The hypothesis tests for parts (c) and (d) should be conducted at the 5% level of significance.

Question 2

Illicit drugs are increasingly being sold on crypto-markets on the  ‘dark-web’ .   These markets facilitate anonymous buying and selling and are characterised by the following characteristics:

- anonymous internet browsing

- payments in virtual crypto-currencies (such as Bitcoin)

- payments to third-party vendors (intermediaries)

- vendor feedback systems (ratings)

This question examines the market for cocaine using a single platform on the dark-web, during July 2017. Consider the following econometric model:

pricei  = β0 + β1 quanti + β2 quali + β3 ratingi + εi

where:

price  = price per gram in USD for a cocaine sale

quant = number of grams of coccaine in a given sale

qual = quality of the coccaine expressed as a percentage purity   rating = rating of the seller on a five-hundred point scale, 0 to 500

The data required to complete this question are located on the subject page.  The data file is called cocaine .csv.

The hypothesis tests for parts (d), (e), and (f) should be conducted at the 5% level of significance.

a) What signs do you expect for β1 , β2  and β3 ?

Solution:We expect the following signs for the population coefficients:

· β1   < 0—as the number of grams in a given sale increases by one unit, the

expected price per gram will fall (for a given quality and seller rating).  This suggests that there is a quantity discount for large sales.

· β2  > 0—as the quality index increases by one percentage point, the expected

price will increase (for a given quantity and seller rating). We expect that, all else equal, relatively more pure cocaine should command a higher unit price.

· β3   >  0—as the seller rating increases by one unit, the expected price will

increase (for a given quantity and quality). This suggests that the reputations of the sellers are important for buyers such that, all else equal, they are willing to pay a premium to purchase from more reliable sellers.

b) Using  R estimate the econometric model.   Report and interpret the coefficient

estimates. Do the signs of your estimated coefficients turn out as you expect? Solution: The estimated regression results are reported in Figure 1.

meignreassvnea(s)l(u)e(lt)i(s)ncreasesby one unit,

the price per gram will fall by USD 0.0798.  This marginal effect is relatively small, which might reflect the reduced risk faced by sellers on the ‘dark web’ .

·  b2  = 0.7636—as the quality index increases by one percentage point, the price

per gram will increase by USD 0.7636.

·  b3  = 0.2179—as seller rating increases by one unit (on a 500-point scale), the

price per gram increases by USD 0.2179.

The estimated coefficients have the signs that we would expect.

c) What proportion of the variation in cocaine price is explained by variation in quan- tity, quality, and seller rating?

Solution:  Using the R2   =  0.1307 from the regression results in Figure  1, the proportion of the variation in the cocaine unit price that is explained by variation in the quantity, quality, and seller rating is 13.07%.

d) It is claimed that the greater the number of sales, the higher the risk of getting caught; and thus, sellers are willing to accept a lower price if they can make sales in greater quantities. Test this hypothesis. Your answer should clearly state the null and alternative hypotheses, the distribution of the test statistic, and your decision.

Solution: This hypothesis may be represented as a one-sided test:

i) specify H0  and HA :

H0  : β1  < 0

ii) the test statistic :

t =            ? t(N _ 4)

iii) the level of significance:

α = 0.05

HA  : β1  < 0

tc  ~ 1.6449

with degrees of freedom (N _ 4) = 1, 405.  Reject H0  if t ● _1.6449.  Note that the file tut3 .R provides an exact critical value of tc  = _1.6459.

iv) regression results

b1  = _0.0798

v) calculate the sample value of the test statistic

se(b1 ) = 0.0071

b1 _ 0

se(b1 )

vi) apply the decision rule:

t < _tc

reject the null hypothesis.  The data are consistent with the hypothesis that sellers are willing to accept a lower price if they can make sales in larger quantities.

Alternatively, the p-value fore this test is given by p = 0.0000. Since p < 0.05, then reject H0 . Check the file tut3 .R for the calculation of this p-value.

e) Test the hypothesis that a premium is paid for better quality cocaine. Your answer should clearly state the null and alternative hypotheses, the distribution of the test statistic, and your decision.

Solution: This hypothesis may be represented as a one-sided test.

i) specify H0  and HA :

H0  : β2  ● 0                                                                                       HA  : β2  > 0

ii) the test statistic :

b2 _ 0

se(b2 )

iii) the level of significance:

α = 0.05                                                                                            tc  ~ 1.6449

with degrees of freedom (N _ 4) = 1, 405. Reject H0  if t < 1.6449. Note that the file tut3 .R provides an exact critical value of tc  = 1.6459.

iv) regression results

b2  = 0.7636

v) calculate the sample value of the test statistic

se(b2 ) = 0.0965

b2 _ 0

se(b2 )

vi) apply the decision rule:

t > tc

reject the null hypothesis.  The data are consistent with the hypothesis that a premium is paid for better quality cocaine.

Alternatively, the p-value fore this test is given by p = 0.00000. Since p < 0.05, then reject H0 . Check the file tut3 .R for the calculation of this p-value.

f) Test the hypothesis that, controlling for quality and quantity, seller rating is an important determinant of price.   Your answer should clearly state the null and

alternative hypotheses, the distribution of the test statistic, and your decision.

Solution: This hypothesis may be represented as a one-sided test.

i) specify H0  and HA :

H0  : β3  = 0                                                                                       HA  : β3   0

ii) the test statistic :

b3 _ 0

se(b3 )

iii) the level of significance:

α = 0.05                                                                                                tc  ~ 1.96

with degrees of freedom (N _ 4) = 1, 405. Reject H0  if t < 1.96 or t ● _1.96. Note that the file tut3 .R provides an exact critical value of tc  = 1.9617.

iv) regression results

b3  = 0.2179

se(b3 ) = 0.0475