MTH3251/ETC3510/ETC5351 Practice Exam 1

Throughout the paper, Bt , t > 0, denotes the Brownian motion started at 0.

1. In a game of roulette, there are 37 squares, 18 of which are red and 18 black, 1 square is neither. Suppose you bet on a colour with $1 each bet. Denote by Yn the outcome of the n-th bet with distribution: Yn  = 1 with probability 18/37 and Yn  = _1 with probability 19/37. Let Xn  be the fortune after n bets. You start with $10, X0  = 10, and play until no money is left or you reach $20.

(a)  Show that the process Mn  = (19/18)Xn , n = 0, 1, . . ., is a martingale.

(b)  Show that the duration of the game τ is a stopping time.

(c) Derive the probability of reaching $20 before ruin.  Hint:  use (without justification) the Optional Stopping Theorem.

2. Denote by Sn , n = 0, 1, 2, . . ., a Random Walk Sn  = S0 +     Yi , where S0  > 0, is a constant, and the Yi ’s are independent normally distributed random variables N(µ, σ2 ) with µ > 0.

(a) Find a constant C > 0 such that the process Mn  = e一CSn , n = 0, 1, 2, . . ., is a martingale.

(b) Let T denote the first time the random walk Sn  takes a negative value. Show that for any n, P (T < n) < e一CS0 .

(c) Formulate the Discrete Time Risk Model in Insurance with normally distributed claims.  Give a bound on the probability of ruin in terms of the initial funds by using the Random Walk model.

(b)  Give the joint distribution of B1  and B3 .

(c) By quoting an appropriate result, find the conditional expectation E(B3 IB1 ).

(d)  State with reason whether the process Xt   =  _Bt   is also a Brownian motion.

(e)  State with reason whether the process Xt  = Bt(3) is also a Brownian motion.

4. The process Xt  is given by Xt  =  0(t) sdBs , t > 0.

(a)  Show that Xt , t > 0 is a martingale. Give the distribution of Xt .

(b)  Show that the process eXt 一 t3 , t > 0, is a martingale.  Hint:  use Itˆo’s formula and check the conditions for Itˆo’s integral to be a martingale.

5. Assume the following market model.  The stock price today is $2 and in the next period it can be $4 or $1.  The simple interest rate is over this period is 10%, r = 1.1.  State what is meant by arbitrage and show that there is no arbitrage in this model.

6. Assume the following market model.   The stock price evolves according to St  = e0 2t+0 2B..t , where Bt  is Brownian motion, 0 < t < 1.  The continuously compounding interest in a saving account over this period is 0.1.

(a) Let Xt denote the discounted stock price process. Find a such that e一atXt is a martingale and show that there is only one such a.

(b)  Give the distribution of S1  under the equivalent martingale probability measure.  Express the price at time t = 0 of a call option on this stock with exercise price $10 and expiration time T = 1 as an expectation of its payoff . Explain briefly how to obtain the Black-Scholes formula from that expression.

7. Assume that the spot rate rt  follows Vasicek’s model, given by

t

rt  = 0.1 + 0.1e一t + e一t         e dBss .

0

(a)  Give the distribution of rt  and state its mean and variance.

(b) Derive the stochastic differential equation for rt .

(c) Explain briefly what is meant by mean reversion and give the level to which the spot rate rt  reverts.

Find the covariance function of the process rt , t > 0. Hint: Show that the process Xt  = rt et _ 0.1et _ 0.1 is a martingale thus obtain the covariance function of Xt .