MTH3251/ETC3510/ETC5351 Practice Exam Semester 1, 2019

Bt , t s 0, denotes the Brownian motion process started at zero.

1.   (a) Derive the distribution, mean and variance of B2 + B1 .

(b) Find the mean of eB2+B1 .

(c) Find the conditional expectation E(eB  +B2 1 }Bu , u - 1).

2. Let Xt  solve the stochastic differential equation on the interval [0, T] dXt  = 2Xt dt + 2dBt , with X0  = 1.

(a) Find XT .

Give the distribution, the mean and variance of XT . Justify your answer by stating properties of Ito integrals.

3. Let the market model in discrete time t = 0, 1, be given by stock S0  = 1, and S1  = ξ, where ξ has distribution P (ξ = 2) = 0.6 and P (ξ = 1/2) = 0.4, and savings account β0  = 1, β1  = β .

(a)  State the First Fundamental theorem of asset pricing and apply it to derive the no-arbitrage condition for this model.

Show that discounted value of any portfolio is a martingale under the EMM Q

Prove that any claim can be replicated by a portfolio, and give such a portfolio.  Specify it for the claim X = (4, 1), and give the price of this claim at time t = 0.

4. Assume the Black-Scholes market model for the stock price St  and savings account βt , 0 - t - T.

(a)  Give the definition of Black-Scholes model and show that it does not have arbitrage strategies. Hint: Use Girsanov Theorem.

(b) Let Vt , 0 - t - T, denote a self-financing replicating portfolio for a call option. Show that Vt  = at St + bt βt  for some processes at , bt . Then specify at , bt .

(c)  Give the price at time t = 0 of a call option with exercise price K = 1 and expiration T = 1 for the model βt  = 1, St  = e2Bt . Your answer may include the values of the standard Normal distribution function.

5. The spot interest rate rt  on interval [0, T] is modelled by drt  = µdt + σdBt , where Bt is Brownian motion, and r0 , σ > 0. P (t, T) denotes the price at time t of the bond that pays $1 at time T, and βt  denotes continuously compounding savings account with β0   =  1.  The model is specified under the Equivalent Martingale Measure, so that P (t, T)/βt  is a martingale for 0 - t - T.

(a)  Show that βt  = e 0(t) rsds  and P (t, T) = E(e-   tT rsds}>t ).