ECE5883/ECE6883: Advanced Signal Processing 2021

Practical Question 1 [9 marks]

1.a. When is a matrix R called positive  semi- definite?  Given that R is positive semi-definite,

what could be said about its eigen values?

1.b.  Compute the eigen vectors of following matrices.  Are they positive semi-definite?  Explain

why.

┌ 3     1┐

(i)  R1  =  '            '

'         '

┌ 2     0 ┐

(ii)  R2  =  '            '

'1   一1'

1.c.    (i) Let R and P be 2 × 2 positive definite matrices.  Then is the matrix R + P positive

definite? Explain why. 

(ii) What could be said about (R + P)2 ? What if (R + P) is symmetric? 

Practical Question 2 [8 marks]

Consider the communication system as shown in Fig.  1. Here, the transmitted signal z(n) passes through a communication channel, and the resultant signal y(n) is received at the receiver.

Figure 1: Communication System

2.a.  The z-domain transfer function of the channel, H(2), is known as

H(2) =2(2)  

Estimate the impulse response h(n) of the channel.  

2.b. Now assume H(2) is unknown.  In order to estimate the channel, an impulse signal, z(n) =

#(n), is transmitted and y(n) is received at the receiver as

y(n) = ┌ 1, 一2,  , 一81 ┐

Assuming the channel is a first order ARMA filter with one zero and one pole (p = 1, g = 1), find the z-domain transfer function, H\(2), using Prony’s method. Compare the answer with H(2) in (i).                                    

2.c. Using H(2) in  (i), determine the channel output y(n) if the transmitted signal is z(n) =

u(n) , where u(n) is the unit step function.

2.d. Find the power spectrum bu(2), of the output random process y(n) in (iii).

Practical Question 3 [5 marks]

Assume  you  are  tasked  with  estimating  the  power  spectrum  of a  random  process  z(n)  using Bartlett’s method. Resolution of the spectrum, ∆坐 , is required to be at 0]0089| or better.

3.a. What is the minimum allowable length of a sequence (L) you will need to use? 

3.b. Assuming that available hardware can only compute 5 different periodograms, how many

samples of the random process z(n) will you need? 

3.c.  Describe how to produce a power spectrum estimate of lesser variance but around the same

resolution using the same hardware, and same sequence lengths as in 3.a and 3.b. 

Practical Question 4 [13 marks]

4.a. Let d(n) be an AR(1) process with the following auto-correlation sequence

rd(k) = 0]4|k| + #(k)

d(n) gets corrupted by an uncorrelated noise process u(n), resulting in z(n), the observed process. Consider using a first-order FIR Wiener filter w = [w (0) w (1)] to reduce the noise and obtain an estimate of d(n), dˆ(n), as in Fig. 2.

Figure 2: Wiener Filter

(i) Write down the Wiener-Hopf equations to compute the filter coefficients w . 

(ii) Let the uncorrelated noise process u(n) be of zero mean and variance 0]5.  Using the

equations of (i), compute the filter coefficients.

(iii) Is using the filter advantageous?  Demonstrate by comparing the signal to noise ratio

(SNR), before and after filtering. 

4.b. Let 控北  in the following be the auto-correlation matrix of a random process z(n), which is

known to be the noisy observation of another process d(n)

┌ 5

Rx  =  '

'2

2┐

'

5'

(i) Imagine you are to use the method of steepest descent to design a suitable adaptive filter to recover the signal d(n).  For the filter to be stable, what is the allowable range for step size |?

(ii) LMS algorithm is an alternative to steepest descent algorithm. In your understanding,

what is the main difference between the two, and in which sense is the LMS algorithm more advantageous?

Lab Question 1 (Matlab code to be included in answers) [15 marks]

Let z(n) be a biological signal generated by some bacteria that consists of two sinusoids, corrupted by an uncorrelated noise signal u(n)

|                            3|

4                           10

ψ 1  and ψ2  are uncorrelated random variables uniformly distributed in the interval [0 , 2|].

z(n) is observed at a research facility, and it is necessary to remove the noise from the signal for further analysis, which may provide vital information on the bacteria. In order to design a suitable filter for this purpose, first the frequency band where most of the power of the signal falls has to be estimated.

5.a. Let u(n) be Gaussian noise of zero mean and variance of 0]3. Use MATLAB to generate 100

samples of z(n), and generate a plot.   

5.b.  Since the laboratory staff has no information on the nature of z(n), they first use the peri-

odogram approach to estimate the power spectrum of z(n).  They decide to first divide the samples generated in 5.a to 10 sets of 10 samples each, and compute the periodogram esti- mate for each. With MATLAB, produce the periodogram estimates and plot the first 5 in the same figure. Also plot the variance between the 10 estimates in a different figure. Comment

on your results.

5.c. Noticing significant differences between the estimates of 5.b, laboratory staff decide to employ

Bartlett’s method.  Produce the corresponding power spectrum estimate, where the settings

are similar to 3.b, i.e. K = 10 and L = 10.    

5.d.  One investigator in the laboratory presents a hypothesis that the bacteria is producing a

signal comprising of a few sinusoids. To test this, the staff record 1000 samples of z(n), and once more use Bartlett’s method, with K  =  10 and L =  100.   Generate 1000 samples of z(n) using MATLAB, and produce the new power spectrum estimate. Comment on the main features of the new estimate and compare with the one in 5.c.  How closely do your results

match with the given definition of z(n)? 

5.e.  Staff notice that the power spectrum has two distinctive peaks, validating the hypothesis.

Using Bartlett’s method, and the 1000 samples generated in 5.d., how do you propose to improve the accuracy of estimating the corresponding sinusoid frequencies?  Are there any disadvantages to the method you propose? Explain.

5.f. If the laboratory staff knew beforehand that the signal contains exactly two sinusoids, which

method should they have employed to estimate the corresponding frequencies?