AMME2000/BMET2960/BMET9960 - Assignment 2

Assignment Information

● Present your assignment as a concise report in PDF format;

● The entire report must be typed, including all mathematical working; handwritten assign- ments will receive a mark of 0;

●  10% of the assignment marks are allocated for overall clarity and presentation of the report, including your MATLAB code;

●  10% of the assignment marks are allocated for functional MATLAB code used for Sections

1 and 2. This will be assessed via MATLAB Grader submissions similar to what we use for weekly tutorials;

● Your MATLAB code is to be included as an appendix to the assignment report;

● Marks will be deducted for including screenshots of equations and/or figures;

● The report should not exceed 10 pages; additional pages will not be marked, so aim to be concise.  (NOTE: The page limit does NOT include your MATLAB code in the appendix);

● Structure the report using the appropriate Section and Question numbers (e.g.   1.1,  1.2). Each question will be marked separately, so make sure all relevant working and final answers are in that section;

● All figures and tables in your report must be numbered and must be referred to and discussed;

● Your report should be submitted to Turnitin by the due date.  Late submissions will incur a penalty of 5% per day late.

We have prepared an exemplary assignment to guide you in writing your own. You can access this here. Alternatively, you can access it from Canvas > Modules > Useful Resources.

Introduction

The SpaceX Falcon-9 is a contemporary rocket designed to deliver payloads into space. The rocket consists of two stages, a lower primary (for atmospheric flight) and upper secondary (for vacuum flight).  In this assignment you will analyse the thermal behaviour of a simplified model of the secondary rocket stage. A schematic of the rocket stage and simplified model is given in Figure 1:

● Tapering of the rocket can be ignored so it may be modelled as a rectangle with a length L = 13.8 m and a diameter/width D = 3.7 m;

● The rocket has fixed boundary temperatures (stated with respect to ambient temperature);

● The temperature profile of the rocket as a function of two-dimensional space, T (x, z), can be modelled with the Laplace governing equation given by:

∂2T       ∂2T

∂x2        ∂z2

Figure 1: Simplified model of the SpaceX Falcon-9 stage 2 rocket.

Section 1: Analytical Solution to the Laplace Equation (20%)

In this section you will use the methods developed in the lectures and tutorials to derive and explain the analytical solution to the steady-state temperature in the rocket.

1.  State the temperature boundary conditions mathematically.  (2%)

2. With the aid of a diagram,  briefly explain how computing the steady-state temperature distribution for this problem can be solved using two simpler component problems.  Keep your answer to <100 words.  (3%)

3. Using separation of variables, derive the solution for the first component problem in which the only non-zero boundary condition is at z = 13.8 m.  Show all necessary working and justify all mathematical choices.  (5%)

4. Using an appropriate change of coordinate system, together with your answer to Section 1.3, show how you would determine the solution for the second component problem where the only non-zero boundary condition is now at z = 0 m.  (Note:  Here, you do not need to repeat all of the maths from Section 1.3, only the steps necessary to show how and why your solution to this component problem differs from the first one.) Also state the complete steady-state temperature distribution for the model shown in Figure 1.  (5%)

5. Implement your analytical solution in MATLAB and present a clearly labelled contour plot of the steady-state temperature distribution. You should choose your grid so that you sample the temperature every centimetre in both dimensions.  Use 60 Fourier terms in your imple- mentation. (Note that the nature of the hyperbolic functions means you will not get a result for >62 Fourier terms.)  (5%)

Section 2: Numerical Solution to the Laplace Equation (40%)

In this section you will use the methods developed in the lectures and tutorials to implement and explain the numerical solution to the steady-state temperature in the rocket.

1.  The numerical stencil we will use for this problem is known as the Gauss-Seidel method and is shown in Equation 2:

Tj(i)+1 = α(T,j + T) + γ(Tj(i)+1 + T)                                 (2) where α and γ are regularisation parameters given by:

∆z2          

α =

=

3. Implement the numerical method in MATLAB to solve the steady-state temperature field for the given boundary conditions. Run your solution using ngrid = (2n ) + 1 for n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 and 8, keeping the number of grid points the same in x and z. For each grid choice, determine the number of iterations required to reach the steady-state solution with an error tolerance of 6 =  1 x 10 − 10   (i.e.   until successive iterations differ by  < 6 for an L1-norm).   Present your results in a table along with a brief discussion.  (Note: This might take a little while to compute, but your results will also be useful for Sections 2.4 and 2.5.)(10%)

4.  Present a labelled contour plot of the numerically-determined steady-state temperature dis- tribution for the ngrid = 28 + 1 case (this should have been computed as part of Section 2.3.) and compare to the analytical result of Section 1.5.  Are there any differences that you can observe?  (5%)

5. A common method to compute the order of accuracy of a numerical scheme when you don’t have an analytical solution for comparison is to use divided differences. The divided difference method compares the change of a variable at a given location (called a control point) across three different grid-sizes, and is given by:

n = log2  _ 、                                           (3)

where n is the order of accuracy. Use Equation 3and your results from Section 2.3 to perform a convergence analysis for the control point T (1.9, 6.9) and complete the following table:

Table 1: Divided difference

Once you have completed your table, state the number of divisions required to achieve the expected order of accuracy you computed in Section 2.1.   (Note:  Use an error tolerance 6 = 1 x 10 − 10  for your convergence analysis.)  (15%)

Section 3: Numerical Solution to Poisson’s Equation (20%)

In this final section you will extend the thermal problem from Section 2 to one of axial deformation due to thermal loading. 1-D axial deformation of a thermally loaded object with constant material and geometric properties is given by the equation:

wzz  - βTz  = 0                                                               (4)

where β is the thermal expansion coefficient, and w is the z-axis deflection.

The SpaceX rocket is modelled with β = 21 x 10 −6  m/K. The boundary conditions are given in Figure 2.