ECON6003/6703 Mathematical Methods for Economics Problem Set 5

Exercise 1. Show that any "-neighbourhood of x 2 Rm is convex.

Solution. Pick an " > 0 and choose any y; y0 2B"(x), i.e.

d(y; x) < "  and  d(y0 ; x) < ":

For any  2 [0; 1] and z = y +(1¡ ) y0 , we need to show that d(z; x) < ", which can be seen as follows:

(We recall that in Rm,  d(a; b) = ka ¡ bk and the two properties of k k are that k ak = kak and ka+bkkak+kbk.)

d(z; x)  =  kz¡xk

=  ky+(1¡)y0 ¡xk

=  k(y¡x)+(1¡)(y0 ¡x)k

   k(y¡x)k+k(1¡)(y0 ¡x)k

=  ky¡xk+(1¡) ky0 ¡xk

=  d(y; x)+(1¡)d(y0 ; x) < "

Exercise 2. Show that if S and T are convex, S \T is convex.

Solution.  Straightforward. x ; y 2 S \ T implies x ; y 2 S and x ; y 2 T. Since both S and T are convex,  x + (1 ¡ ) y 2 S and  x + (1 ¡ ) y 2 T for every  2 [0; 1]. That is,  x+(1¡) y 2 S \ T for all  2 [0; 1], hence S \T is also convex.

Exercise 3. Let S be the set of all solutions in x = (x1 ; :::; xm) to the equation

p1x1 +    + pmxm   =  b:

where p1 ; :::; pm ; b are fixed parameters. Show that S is convex.

Solution. Let x = (x1 ; :::; xm) and y = (y1 ; :::; ym) be any two elements of S . Therefore, p  x = p1x1 +    + pmxm = b  and   p  y = p1y1 +    + pmym = b:

For any  2 [0; 1],  set z =  x + (1 ¡ ) y and note that p  z =  p  x + (1 ¡ ) p  y = b.

Hence z 2 S, which shows that S is convex.          .

Exercise 4. For any two sets S ; T  Rm ; we define

S + T  =  fx+yjx 2S ; y 2T g:

Show that if S and T are both convex, then S + T is convex.

Solution.  Let z; z0 2 S + T.   For any  2 [0; 1], we need to show that  =  z + (1 ¡ )z0 2S + T .

By definition, there exists x; x0 2 S and y; y0 2 T such that z = x+y and z0 = x0 +y0 .

 = z+(1¡)z0   =  (x+y)+(1¡)(x0 +y0)

=  (x+(1¡)y) + (x0 +(1¡)y0)

Since S and T are convex,  =  x + (1 ¡ )x0 2 S and  =  y + (1 ¡ ) y0 2 T. Hence  = +  2 S + T.

Exercise 5. Show that a closed half space is closed and convex set.

Solution. A closed half space in Rm is the a set of the H+(p;   ) = fx 2 Rm j p  x    g or H ¡ (p;   ) = fx 2 Rm j p   x     g for some p 2 Rm ;     2 R.  Let xk  be an infinite sequence in Rm such that limk!1xk = x  .

Supose in fact the sequence xk2 H+(p;   ), then p  xk       for all k : We may use all that we know about limits to conclude that p   x       and hence x  2 H+(p;   ). Using the sequences definition of closed sets we conclude that H+(p;   ) is closed.  Similarly for H ¡ (p;   ).

Exercise 6. Use the previous exercise to show that a hyperplane is a closed set.

Solution.  Note that a   hyperplane H (p;   ) = H+(p;   ) \ H ¡ (p;   ).  Since it is the intersection fo two closed sets, it is closed.

Exercise 7. Use the previous exercises to conclude that the budget set for the standard neoclassical consumer is convex and closed.

Solution.  Note that the set x 2 Rm  such that xi  0 is the half space H+(pi ; 0) where pi = (0; :::; 0; 1; 0; :::; 0) (i.e. only the ith coordinate is non-zero and equal to 1). If m is the income, and p the price vector, the requirement that p   x  m is simply that x 2 H ¡ (p; m).   Therefore the budget set is B (p; m) = H+(p1 ; 0) \     \ H+(pn ; 0) \ H+(p; m).

Exercise 8.  Let S ; T  Rm  be two non-empty, closed, convex and disjoint sets. Show that there exists a p 2 Rm such that

p  x  <  p  y       8 x 2 S ; y 2 T:

(Convince yourself (with a diagram) that the above result is not true if the sets are not disjoint.)

Solution. Define the set Z = T ¡ S.   From Exercise 4, we know that Z is convex, since S and T are convex. Z is also closed, again since S ; T are closed ( proof?). Moreover 0  Z since S \ T = ;. Why?  if S \ T  ;, then we can take some x 2 S \ T, and then 0 = x ¡ x 2 Z .    Thus we have a convex set Z and a point b = 0  Z . Hence by the sepa- rating hyperplane theorem, with

p  z  >  p  b = 0       8z 2 Z :

Therefore for any x 2 X and y 2 Y , taking z = y ¡ x, we have p  z > 0 for p  (y ¡ x) = p  y ¡ p  x > 0.

Exercise  9.  Suppose there are two states of the world, !1  and !2  and there are two assets A = (1; 1) and B = (0; 1). Suppose a consumer wants to achieve a contingent con- sumption of C = (3; 1).  What should be her portfolio?

Solution.  Suppose you choose a portfolio in which you buy x units of asset A nad y units of asset B , then your consumptino in the two states of the world (c1 ; c2) is

 c(c)2(1)    =  x  1(1) + y 1(0) 

OR   c1   =  x

c2   =  x + y

You want the consumptino patern c1 = 3 and c2 = 1 and hence x = 3 and y = ¡2.

Exercise 10.  Suppose there is a stock being traded, whose price tomorrow takes integer values between 1; :::; 10. All that matters is this stock price, let us say, so that     = (1; 2; :::; S) denotes the states of the world  that is the stock price will be s in state !s with our notation in class.

A call option taken on the above stock is an asset whose future payoff depends on the price of the underlying stock and an exercise price, say E . Purchasing such a call option today, give the owner the right to purchase the above stock for a fixed price.  So the payoff in state s will be maxfs ¡E ; 0g.

For example when S = 10 and E = 5, the payoffs of the call option and the stock in dif- ferent states are as shown

A put option is in some sense the opposite of a call option which was described in the lecture note. To elaborate, if I hold a put option with an exercise price E on a certain stock, it gives me the right to sell that stock at the price E .

1) Write down the put option as an asset, i.e. denote its payoff in each state of hte world when S = 10 and E = 5.

I  See the answer to the next question (last row of the displayed table).

2) Now think of forming a portfolio that involves buying or selling a put option, a call option and the stock itself so that the outcome with this portfolio in order to achive the a constant consumption c across all states of the world.

I  The consumption in different states of the world for each of the assets is given in

the table below:

3) Now, if pc, pP , pa  denote the respective prices of the call, put and the stock respectively and you are told that the gross interest rate on a bond is (1 + r), can you figure out the relation between these four variables?  (If you cannot wait for the answer, do a search on Put-Call parity on the web!)

I  By holding a portfolio in which you buy 1 Stock and 1 Put and sell 1 Call (exer-

cise price 5), we get a constant payoff of 5 in every state. (For example in state 9, we get 9 from Stock, and 0 from the put but we have to pay 4 for the call we sold so the ultimate payoff is 5). Let us call such a portfolio Z. How much does Z cost  it costs pZ= pa + pP ¡ pc . By holding the portfolio Z, I can get 1 dollar in every state of the world.  This is just like borrowing  1/(1+r) dollars from a bank. (Selling the asset Z is like lending 1/(1+r) dollars.  Therefore, in an equilibrium the price of Z must equal the cost of borrowing, i.e. pZ= 1 /(1 +r).

Exercise  11.  Use Farkas Lemma to decide if the following system of equations has a non-negative  solution:

   @(0)  A(1) =   1(1)  :

Solution.  We know that either a non-negative solution to the above exists, or here exists y = (y1 ; y2) such that

(y1 ; y2)  1(4)  0(1)

¡6

   00(0) 1

(1)

(y1 ; y2)  (1; 1)  <  0

has a solution. We will show that (1) cannot hold for any (y1 ; y2) to complete the proof.

Expand and write out the above inequalities,

4 y1 + y2      0

y1      0

¡6y1 + 2 y2      0

y1 + y2   <  0:

The second and the last inequalities give us y1  0 and y2 < 0. But the third inequality gives us 2 y2 6y1 , which cannot hold. Hence, (1) cannot hold.

Exercise 12.  Let f : [0; 10] be a continuous function such that f(10) = 3 and f 0 (x)  2 for all x 2 (0; 10). Show that f(0)  ¡17.