ECON6003/6703 Mathematical Methods for Economics Problem Set 4

Question 1.  (prob.  11.2 and 11.3 pg.  243 from SB Text) In each case, verify whether the set of vectors is linearly independent.

1.   1(2) and  2(1) 

2.   1(2) and  ¡(¡)2(4) 

3.  0  1(1) 1and0 1(0) 1

@ 0 A       @  1 A

4.  0  1(1) 1  0  0(1) 1and 0  1(0)  1

@  0  A; @  1  A           @  1  A

0  1 1  0  1 1          0 0 1

5.  B 1(0)   C; B 0(0)   Cand B 1(0)   C

@     A  @     A          @     A

0  1 1  0   1   1          0  1 1

6.  B 1(0)   C; B  0¡1   Cand B 0(0)   C

@ 0 A  @   1   A          @ 0 A

Answer.  All answers rely on the various propositions presented in the Lecture class slides. Make sure you understand which one is being used  I am not explicitly quoting the propositions

Part 1, Part 2, Part 3, the number of vectors equals the number dimension of the vec- tors, i.e. m = k in terms of the notation in class. We can therefore sort out the linear dependence issue by simply calculating the determinant of the matrix whose columns are these corresponding vectors.

In Part 1 and Part 2, calculate the determinant of the 2x2 matrix formed by the two colum vectors. In Q1,  det  1(2)  2(1)  = 4 ¡ 1  0 and in Q2, det    = 0, so the vectors in the former are linearly independent, in the latter they are linearly dependent.

Likewise, in Part (4), we have

A  =   0    1

@ 0  1   1  A

and det(A) = ¡2. Hence this is a linearly independent set of vectors.

Part 3, when we take a linear combination of the two vectors,

c1 @(0)  A(1)+ c2@(0)  A(1) =  @(0) c2 c2  A(1):

The linear combination equals the zero vector, i.e. satisfies the equation

c1@(0)  A(1)+ c2@(0)  A(1) =  @(0)  A(1)

OR       0 c2 c2  1       00(0) 1

if and only if c1= c2= 0.

Part 5, Part 6, I will leave it to you, follow the procedure above.

Question 2. Do the vectors (1; 2; 3), (4; 5; 12) and (0; 8; 0) span R3? Explain. Hint: (Think in terms the determinants!).

Answer. Again, look at the determinant formed by the three vectors as columns,

A  =  0  1

@ 3  12  0 A

Recall the procedure described in class for calculating the determinant, about picking aand working through the rows: In class, when illustrating the procedure, I chose the first column. However in the above, you will find it more conveninent to pick the third column  given the zeros. Then the

det(A)  =  ¡8det  3(1)  12(4) 

=  ¡8  (12¡12) = 0:

So theese vectors are not linearly independent.  Since we need at least three linearly independent vectors to span R3,  it then follows these vectors do not span R3 .

Question 3. Do the problems 11.12, 11.13 and 11.14 from the SB Text, (page  249).

Answer. The screenshot of solutions from the publisher:

Question 4.  You may want to read up Example 3, pg.  113 of SB Text, but equally, you may wish to give it a try first anyway.

At each date, a typical individual is either employed or not.   We may think of these as two states fe ; ug.   Let pij  denote the probability that someone that is in state i today moves into state j   tomorrow.  That is, peu  for instance is the probability that an employed will lose his job pee is the probability that he keeps his job.

1) Express these probabilities as a 2  2 matrix.

I  Solution.

P  =      pee   peu  !

pue   puu

2) Suppose that a fraction    xt        of the working population at date t is employed and the remaining fraction yt = 1 ¡ xt  is unemployed at date t. Using the above matrix and the vector (xt; yt), write down the relation between (xt+1 ; yt+1).

I  Solution.  The average fraction of those who are employed tomorrow consist of

those who are employed today and will continue to be employed tomorrow, which is peext  and those who are unemployed today and become employed tomorrow, which are pueyt . So

xt+1   =  peext + pueyt

Similarly,

yt+1   =  peuxt + puuyt:

The above two equations can be written in a matrix form as

( xt+1   yt+1  )  =   ( xt   yt  )    pee   peu  !

pue   puu

or, you can rewrite this in the usual

     =

 ! y(x)t(t)  

(1)