ECON6003/6703 Mathematical Methods for Economics Problem Set 3

Exercise  1.  Verify that   is represented by a quasi-concave utility function if and only if for every  x,  the weakly preferred set

fy 2Xjyxg

is convex.

Solution.   Suppose  can be represented by a quasi-concave utility function.  In

fact let U : X ¡! R be such a utility representation. Next, pick any x 2 X and let C = fy 2 Xj y  xg denote the above set. We need to show that C is a convex set. For this, for any given y; y0 2 C, we need to show that z =  y + (1 ¡ ) y0 2 C for all  2 (0; 1), which is to show that z x.

By definition of C ,

U(y)U(x)  and  U(y0)U(x)                                       (1)

Since U is quasi-concave, we have

U(z)  =  U(y+(1¡)y0)

  minfU(y); U(y0)gU(x)

where the last two inequalities follows from (1)      .

To complete the answer, we must also show that the converse also holds. That is suppose C is a convex set for any x and show that  U must be quasi-concave. That is, for y; y0 , where  without loss of generality y  y0 , we then need to show that

U(z)    U(y0):

But   this is immediate upon setting x = y0  in the definition of the above set C: Since C is convex, z 2 C and hence the above inequality holds.

Exercise  2.  Suppose    is represented by a quasi-concave utility function U .  Construct a new utility function V (x) =  f(U(x)) wheref: R ¡! R is strictly increasing.  Verify that  a) V also  represents  and b). V is quasi-concave.

Solution.  (Please note the correction in the definition of f , the domain is the set of real numbers, not X)

Part (a). For any x; y 2 X

x y  ,  U(x)U(y)              (since U is a utility repre-

sentation of )

,  f(U(x)) f(U(y))    (since f is increasing)

or   V (x)V (y)

Hence V is also a utility representation of  .

Part (b). Use the previous exercise.   is represnted by the quasi-concave implies C is convex, which in turn implies that any other representation of  , in partic- ular the representation V must also be quasi-concave.

Exercise 3. Here is an equivalent definition of a continuous preference relation to the one given in lecture slides.

A preference relation  on Rn  is said to be continous if for any y 2 Rn and every infinite sequence xn

 xn y 8n   and   n(l)im!1xn =x  )  x y:

Use the above definition (or the original definition given in class) to answer the following:

Take  to be the so called lexicographic order on R:  That is, given x = (x1 ; x2) and y=(y1 ; y2)

x⃞y  ,  

Verify that  is complete and  transitive but not continuous .

Solution.  Note that with these preferences,   (x1 ; x2)  (y1 ; y2) if and only if x = y. In other words the indifference curve passing through (x1 ; x2) is simply that point! No two elements are indifferent.

I will leave it to you to verify that  is complete and transitive.

The more interesting thing here is this preference is not continuous! To see this, take for instance  y = (0; 0) and the sequence xn =¡ ; 1  . Since the first coordi- nate of xn  is greater than that of y, i.e.  > 0,  we have xn ⃞ y for all n. However, limn!1 xn =x = (0; 1). At x, both x and y has an equal first coordinate, by y has a strictly greater value for its second coordinate. Hence  y ⃞ x. In other words, at every point in the sequence, xn   is strictly preferred to y but the preference switches at the limit.

Note. There is a somewhat deep theorem in math which shows that Lexicographic preferences do not admit a real represenation. As such, Lexicographic preferences constitute  an important example to demonstrate   that the assumption of conti- nuity of preferences cannot be dispensed with in  Debreu's Utility Representation Theorem.

Exercise 4.  Let B  R be a convex feasible set and f : B ¡! R be strictly quasi- concave. If  f admits a maximum, then it must be unique.

Solution.  Assume, by way of contradiction, that y and y0  are two distinct maxi- mizers of f on the domain B .  Then, by definition,

f(y)= f(y0)    f(x)   8x 2 B :