DEN403/DENM010 (2021)

Question 1

A Matlab software engineer is given a task to implement several unsteady models in the  new software release. The problems are governed by the equations, which describe (i)    acoustic wave propagation in free space, (ii) heat diffusion, (iii) shock wave formation in a piston engine, and (iv) convection-diffusion of chemical species, as follows:

(i) (ii) (iii) (iv)

a)

The engineer knows that the first step of numerical solution is to categorise the problems by type, which is needed in order to prescribe appropriate initial and boundary conditions.

Which initial and boundary conditions does the engineer need to impose in order to           organise the time integration procedure for all problems (i)-(iv)? Would you suggest an      explicit or implicit time integration algorithm to be used in these cases and why? Provide a clear and concise explanation for each problem.

[12 marks: 3 marks for each complete correct answer]

b)

Provide a clear and concise explanation for your reasoning in each recommendation:

When choosing a space-time discretisation scheme to solve each problem, the engineer    recalls that artificial viscosity can be used to improve the solution accuracy for some initial- boundary-value problems. Suppose that the solution at the initial time can be represented by a smooth Gaussian function. Out of (ii), (iii), and (iv) (ignoring (i) for the moment), which problems would you recommend to use an artificial viscosity method for?

[5 marks]

Now suppose that the solution at the initial time is best described by a discontinuous step function. Again, which problems (ii), (iii), and (iv) would you recommend to use an artificial viscosity method for?

c)

After some deliberation, the engineer wants to use their favourite first-order upwind finite- difference for solving the linear wave propagation equation (i). The idea is to split the        solution into the upstream and downstream propagating waves and then solve each         equation with the first-order upwind method. Outline the steps of the analysis and solution procedure, which the engineer needs to put in place to compute the solution at time t=T,  starting from a known initial condition at time t=0 and with applying valid boundary             conditions. Provide a sufficient justification for each step of the suggested algorithm.

[11 marks]

Question 2

a)

Student A is given a python code which iteratively solves the following two-dimensional finite-difference equation to update the pressure solution, p at the new time level, n+1,

,

where (  ) are the computational time step and uniform grid size, i and j are the grid cell indices corresponding to x and y coordinates, respectively, n is the current time step,        where the solution is available.  and   are some model                  coefficients.

There is no user manual, which came with the code, and A needs to reverse-engineer the governing partial-differential problem, which is solved by the code. Can you help the         student to determine what the underlying partial differential problem is? Suggest the         governing equation as well as give an example of valid boundary conditions you can         expect for problems of this type.

[6 marks]

Using the Taylor expansion, determine the order of accuracy of the finite-difference           scheme to approximate the suggested governing partial-differential equation in space and time

b)                       Using the Von Neumann linear analysis for the finite-difference      scheme from part a), find the time step stability condition for a given spatial grid size h.

[9 marks]

c)  Show that when the finite-difference scheme from part a) is stable it is also variation bounded, e.g. its solution at the new time level always lies between the minimum     and the maximum values at the previous time step.

[11 marks]

Question 3

a)  Consider the following properties for air and silicone oil:

Which one is more viscous considering the two perspectives: forces on other structures and the transfer of momentum within the fluid itself? Why?

[4 Marks]

b)  The critical Reynolds number for Laminar/Turbulent flow transition in a round pipe is

2300. What is the speed needed in a 10 cm diameter pipe for this transition to happen for the fluids in part a (i) air; (ii) silicone oil? (consider that the Reynolds number is       based on bulk velocity and diameter)

[4 Marks]

c)  Two different models of turbulence can be used to predict the performance of an aerofoil

(i)        eddy-viscosity                   (ii)       Reynolds-stress transport

Describe the main principles of the mentioned models, and state under what                 circumstances you will be selecting each one of them to model a turbulent flow over an aerofoil showing the advantages and disadvantages of each type of closure.

d)  Indicate which method you would use to simulate an industrial turbulence problem; RANS or DNS? Why?

[4 Marks]

e)  The following data are measured values of (  ,  ) in an idealised 2-d turbulent flow. Calculate  ,  ,  ,  ,  from this set of numbers.

(2.6,0.3)     (3.4,0.2)     (4.2,  0.4)     (5. 1,  0.2)     (3.9,0. 1)

[6 Marks]