MTH6142 / MTH6142P Complex networks

Question 1. [30 marks]

Structural properties of a given network.

Consider the adjacency matrix A of a network of size N – ; given by

╱ 、

A – ．．． .

a)  Is the network directed or undirected? (←_;╱;Jy y）_≠）礻;wμ≠)

b)  Draw the network.

c)  How many weakly connected components are there in the network? Which are the nodes in each weakly connected component?

[2]

[4]

[2]

d)  How many strongly connected components are there in the network? Which

are the nodes in each strongly connected component?

e)  Is there an out-component in the network? If yes, indicate the nodes in the out-component of the network.

f)  Determine the in-degree sequence {k1(i)n , k2(in), k3(in), k4(in)} and the out-degree sequence {k1(o)ut , k2(out), k3(out), k4(out)}.

g)  Determine the in-degree distribution Pin (k) and the out-degree distribution Pout (k).

[2]

[2]

[4]

[4]

h)  Calculate the eigenvector centrality xi of each node i – 1, 2, . . . , N of the network with adjacency matrix A given by Eq. (1).

To this end start from the initial guess x(0)  – 1 where 1 is the     N-dimensional column vector of elements 1i  – 1 Vi – 1, 2 . . . , N.

Consider the iteration

x(n)  – Ax(n一1)

for n e N.

Finally evaluate the eigenvector centrality xi of each node i of the network by calculating the limit

xi  – n(i) N        (n) .

i)  Is the result obtained in point h) expected? (6左y←)

[8]

[2]