MAST20006/90057 Semester 1, 2022 Assignment 5

1. Let X and Y be two random variables with the joint probability density f(x,y) = ( 

Let Z = Y2X and W = Y be a joint transformation of (X,Y).

(a) Draw the graph of the support of (Z,W), and describe it mathematically.

(b) Find the inverse transformation.

(c) Find the Jacobian of the inverse transformation.

(d) Find the joint pdf of (Z,W).

(e) Find the pdf of Z = Y2X from the joint pdf of (Z,W).

2. For n ≥ 1, let X1,X2,...,Xn  be a random sample (that is, X1,X2,...,Xn  are inde- pendent) from a geometric distribution with success probability p = 0.8.

(a) Find the mgf MY5 (t) of Y5  = X1 + X2 + X3 + X4 + X5  using the geometric mgf.

Then name the distribution of Y5  and give the value of its parameter(s).

(b) Find the mgf MYn(t) of Yn  = X1 + X2 + ··· + Xn  for any ≥ 1.  Then name the

(c) Find the mgf Mn (t) of the sample mean n  =  .

For the next two questions, Taylor series expansion of eax  and the result

lim [1 + an− 1 + o(n− 1)]bn  = eab

may be useful.

(d) Find the limit limn!1 Mn (t) using the result of (c). What distribution does the limiting mgf correspond to?

(e) Let

Zn  = pn

! = p5nn − p5n.

Find MZn(t), the mgf of Zn. Then use a theoretical argument to find the limiting mgf limn!1 MZn(t). What is the limiting distribution of Zn?

3. Let X1 , X2 and X3 be a random sample of size n = 3 from the exponential distribution with pdf f(x) = 2e −2x , 0 < x < 1. Find

(a) P(0 < X1  < 1, 1 < X2  < 2, 2 < X3  < 3).

(b) E[(X1 − 2)2X2 (2X3 − 2)].

4. Let X1,X2,X3  denote a random sample of size n = 3 from a distribution with the

Poisson pmf

x!

(a) Compute P(X1 + X2 + X3  = 1).

(b) Find the moment-generating function of Z = X1 +X2 +X3 using the Poisson mgf

of X1. Then name the distribution of Z .

(c) Find the probability P(X1 + X2 + X3  = 10) using the result of (b).

(d) If Y = max{X1,X2,X3}, find the probability P(Y < 3).

5. If E(X) = 20 and E(X2) = 449, use Chebyshev’s inequality to determine (a) A lower bound for P(11 < X < 29).

(b) An upper bound for P(|X − 20| ≥ 14).

6. The distribution of the weight of a prepackaged  “1-kilo pack” of cheddar cheese is assumed to be N(1.18, 0.072), and the distribution of the weight of a prepackaged “3-kilo pack” of cheese (special for cheese lovers) is N(3.22, 0.092).

Select at random three 1-kilo packs of cheese, independently, with weights being X1,X2 and X3  respectively. Also randomly select one 3-kilo pack of cheese with weight being

W. Let Y = X1 + X2 + X3 . (a) Find the mgf of Y .