MATH2305/MATH6405 - Applied Mathematics I/Ordinary Differential Equations & Advanced Vector Calculus (Assignment 3.)

a).  Be sure to cite any sources you use for the assignment (whether it is a book or a webpage).

If you discussed the problem with other students in the class, please declare that too. b). If possible, check that your solution is correct.

c). In all questions, where Matlab is needed, include your copy of the Matlab code that you used to get the answer.

d).  Remember to put labels on the axes of your plots, label to different functions, if necessary, and also add a title for the plot.

Question: 1 (Method of reduction of order)                                                                                  7P.

Consider differential equation

x y2// - x(x + 2)y  + (x + 2)y/ = 0.

a).  Show that y1  = x is a solution of this DE. Use method of reduction of order to find the

general solution of the DE.

b). Find all solutions of the initial value problem

x2y// - x(x + 2)y/ + (x + 2)y = 0,    y(0) = 1,    y/ (0) = 0.

(3P.)

(1P.)

c). Find all solutions of the initial value problem

x2y// - x(x + 2)y/ + (x + 2)y = 0,    y(0) = 0,    y/ (0) = 1.

(1P.)

d).  Do solutions for part b) and c) exist?  Are they unique?  Is there a contradiction with the theorem of existence and uniqueness of solution of initial value problem?                     (1P.)

e). Is it possible to find a0 , a1  e R, such that solution of the initial value problem x2y// - x(x + 2)y/ + (x + 2)y = 0,    y(0) = a0 ,    y/ (0) = a1

exists and is unique?

Question: 2 (Homogeneous DE of second order with constant coefficients) Consider differential equation

y// + (3 - a)y/ - (4 - a)y = 0,

where a e R.

(1P.)

6P.

a). Find all values of a (if any) such that all solutions of this DE tend to zero as t - +o. (3P.)

b). Find all values of a (if any) such that all non-zero solutions of this DE become unbounded

as t - +o.                                                                                                                     (1.5P.)

c). Let now a = 0 and consider IVP with initial conditions

y(0) = b, y/ (0) = 2.

Find b (if possible) such that solution of the IVP approaches 0 as t - o.

Question: 3 (Non-homogeneous LDEs of second order)

Find general solution of the equation

(1.5P.)

7P.

y// - 2y/ + y = 4 sin(t) +

Question: 4 (Stiffening spring in a mass-spring system)                                                           11P.

When a mass-spring system has a stiffening spring, then the displacement of the mass from its equilibrium position satisfies differential equation

my// + cy/ + ky + εy3 = F (t),

where ε > 0 (the spring is softening if ε < 0).

For this problem suppose that m = k = 1.

a). Assume that there is no damping and the external force is cos(ωt).

i). Let ω = 1 and ε = .  Use MATLAB  to find the solution which satisfies initial values y(0) = y/ (0) = 0 .  Plot the external force and the output y on one graph using large

enough interval for t to exhibit the behaviour of y .                                                 (4P.)

To use ode45 for second order differential equations you need to introduce a two- dimensional vector function  (x1 , x2 ), such that x1  = y, x2  = y/  and use the second order differential equation to find the system of first order differential equations for (x1 , x2 ) of the form

_x(x)

for some functions f and g. On the right hand-side of the system, you should not have y, y/  and x1(/), x2(/) .

ii).  Repeat the previous part for values of ω = 0.25, 0.8, 1.2, 4.  You may need to change the range of t for different values of ω. How does solution change as ω increases?  (2P.)

iii).  Compare results with of parts (i) and (ii) with the corresponding motion for the linear

spring (when ε = 0).                                                                                                  (1P.)

iv). For fixed ω = 1 use MATLAB  to describe how the amplitude of motion changes for

different values of ε .                                                                                                   (1P.)

b).    i). Assume now that the system is damped with c = 0.25 Use MATLAB to plot solutions for the same values of ω as in part a). Does the motion appear to be somewhat periodic?

If yes for each value of ω estimate the period and amplitude.                                (2P.)

ii).  Compare results again with the corresponding motion for the linear spring (when ε = 0) (now with damping).                                                                                                 (1P.)

Note:  When comparing to a system with linear spring you can use all material from lecture notes, there is no need to repeat calculations which are included there.

Question: 5 (Power series solution)                                                                                             9P.

Consider the initial value problem

y// + xy/ + 2y = 0, y(0) = 0, y/ (0) = 1

a). Use MATLAB to solve numerically the initial value problem on the interval ( -5, 5). Attach the plot of the numerical solution.                                                                                    (2P.)

b). Find power series solution y =      anxn of the IVP. Make sure to find closed form for the

coefficients an. Find radius of convergence of the power series.                                      (4P.)

c). For fixed N = 1, 2, 3, 4, 5 plot the partial sum yN  =     n(N)=0 anxn  of the power series solution together with the numerical solution from part a). Increase N , so that there is no perceptible

difference between the graph of yN  and the numerical solution of part a).                    (3P.)