MMATH96037/MATH97062/MATH97173 Functional Analysis (2021)

1.   (a)    Prove that the space of polynomials on the unit interval [0, 1] with the supremum norm is a linear metric space.                                                                                                (6 marks)

(b)    Prove or disprove that the space in (a) is :

(i)    separable;                                                                                                        (5 marks) (ii)    complete.                                                                                                        (4 marks)

(c)    Prove or disprove that the space l4  is a Hilbert space.                                            (5 marks) (Total: 20 marks)

2.   (a)    Let X be a proper closed subspace of the space lp , p e (1, o). For p˜ > p, consider the norm of lp˜  and of lp  restricted to X and assume they are well defined on X.  Prove that, if the space X is finite dimensional, then these norms are equivalent. By example show that if the space X is infinite dimensional, then the two norms on X are not necessarily equivalent.

(7 marks)

(b)    Prove that a unit ball in the linear metric space dual to the space ((([0, 1]), |.|u ) of continuous functions with supremum norm | . |u , is infinite dimensional and not separable.

(6 marks)

(c)    Consider the following linear space

W = {(xj  e R)j∈N  : x3  = 0;

Ixj I2  < o}

j∈N

with a norm

|x| = │ j

1

Ixj I2 ← ≠  .

3.   (a)    Let Hn (x), n e N, be Hermite polynomials associated to the measure

dµ = e一 x≠ dλ.

For what values of ξ e R the following operator is contractive in L2 (R, µ)

Tn f (x) = Hk (x) + Kξ f (x) = Hk (x) + ξHn (x)    Hn (y)f (y)µ(dy)              (*)

with k  n.                                                                                                            (5 marks) (b)    Prove that for ξ = 1 the operator in (*) is not strictly contractive but nevertheless has a fixed point.                                                                                                                     (5 marks)

(c)    Let  (pj )j∈N   be a sequence of distinct prime numbers.   Prove that the operator defined as

follows

Kf =        1  Hn (x)    Hn (y)f (y)µ(dy)

is compact in L2 (R, µ) .                                                                                           (10 marks)

Hint:  The k-th prime number asymptotically is of order

pk  ~ k log(k).

(Total: 20 marks)

4.   (a)    Prove that the following subspace

V = {f e (([0, 1]) : cc e R Vx e [1/3, 2/3] f (x) = c}

is a closed linear subspace in the space of continuous functions (([0, 1]) with supremum norm | . |u .                                                                                                                    (5 marks) (b)    Prove or disprove that V is nowhere dense in ((([0, 1]), | . |u ).                             (6 marks)

(c)    For p e (1, o) and a sequence ρ = (ρj  e (0, o))j∈N  satisfying ↘j∈N ρj  = 1, let

lp (ρ) = {(xn  e R)n∈N  :      Ixj Ip ρj  < o}.

j

Prove that, if for some (zj  e R)j∈N  we have

Vx e lp (ρ)

zj xj ρj  < o,

j

then there exists uncountably many q e (1, o) such that

Izj Iq ρj  < o.

j

(9 marks) (Total: 20 marks)

5.   (a)    Explain what does it mean that a Banach space (X, |.|X ) is compactly embeded into another Banach space (Y, | . |Y )

(4 marks)

(b)    Define Wk,p (Ω) space and show that it is a separable Banach space.

(6 marks)

(c)    Let Ω = [0, 1]d  c Rd , d > 3, and for any x e Ω define

Tf (x) =     e一  ←从 ì）≠ f (y)λ(dy)

Ω

for any f : Ω - R for which the right hand side is well defined.  Using Sobolev inequality or otherwise, show that the following set

{Tf : |f |2  < 2}

is compact in L2 (Ω).

(10  marks) (Total: 20 marks)

MMATH96037/MATH97062/MATH97173

Functional Analysis (Solutions)

l.   (a)    In  the  space  of  polynomials  we  are  given  natural  addition  of  vectors  and multiplication by a number as for functions as follows.  For

P(j）(t) =

α）tk

k>〇

with a convention that 3n ∈ N Vk > n       α）  = 0, we have

╱P(1） + P(2）← (t) =      (α + α )tk

k

and

╱ λ . P(1）← (t) =      (λα )tk

k

One needs to show that this operations are continuous. Since the metric

ρ(v, v/) = lv e v/l

is given by the norm, the continuity is immediate by the following general argument lv e w e v/ e w/l < lv e v/l + lw e w/l

for  any  vectors  v, v/, w, w/,   using  commutativity  of  addition  of  vectors  and Minkowski  inequality.   Similarly for  multiplication of a vector  by a  number, we have

lλ o v e λ/ o v/l = l(λ _ λ/) o v e λ/ o (v e v/)l < Iλ _ λ/I . lvl + Iλ/I . lv e v/l

< max{lvl, Iλ/I} ╱Iλ _ λ/I + lv e v/l、

(b)

(i)    The space is separable. This is because the countable set of monomials Xn  = tn , n ∈ Z＋  is the Hamel basis of the space, (by definition of polynomials), and we can approximate coefficients by rational numbers, that is for any ε > 0 and any polynomial P (t) =     k=〇,..,n αktk  and rationals qk  ∈ Q, k = 0, .., n, we have

l

αktk _

qktk l <

Iαk _ qkI

k=〇,..,n                 k=〇,..,n                   k=〇,..,n

and choosing maxk=〇,..,nIαk _ qkI < ε we get

lP (t) _           qktk l < ε.

k=〇,..,n

(ii)    The space is not complete.  For example a sequence

n    tn

2n

k=〇

is Chauchy with respect to the sup norm on [0, 1] and the sequence converges in the sup norm to a bounded continuous function (1 _ )-1 .

(c)    Since the norm of a  Hilbert space by definition is given by a scalar product,  it satisfies the following parallelogram identity

|v + w|2 + |v - w|2 = 2|v|2 + 2|w|2

For the l4  norm, consider two different vectors which have coordinates all equal to zero but one which is equal to 1. Then we have

|v + w|2 + |v - w|2 = 2(2) 

and

2|v|2 + 2|w|2 = 4.

Since these numbers are different, the parallelogram identity fails and so l4  is not a Hilbert space.

2.   (a)    If the space X has dimension n e N, we can choose a basis ej, j = 1, .., n and for any vector v in the space we have a representation

v =           vjej .

j=1,..,n

Then, we have

lvlp  <  max  lejlp                IvjI

j=1,..,n

On the other hand, the function

(vj)j=1,..,n → l          vjejl

j=1,..,n

attains  its  minimum  on  the  closed  bounded  set  defined  by  the  normalisation condition     j=1,..,nIvjI = 1. This yields

lvlp  2 mp                IvjI.

j=1,..,n

with some mp  e (0, o).

Since similar property holds with the p˜ norms, we conclude that the norms are equivalent.

Next we give examples of infinite dimensional proper closed subspaces on which both norms are well defined, but not equivalent.

Let

Vj  = {(zk)keN  e lp  : zj  = 0}

for any j e N. Vj  are proper closed subspaces of lp  and infinite dimensional (with a canonical basis (δk . ), k  j, respectively).  It contains truncated sequences from the space lp˜ of the form

(zkχL (k))keN

where χL (k) = 1 for k < L and zero otherwise. One can choose a sequence which is Cauchy with respect to lp˜ norm for p˜ > p, but not convergent with respect to lp norm. Thus the norms are not equivalent.

(b)    Using Hahn-Banach theorem one can show that the dual space of c([0, 1]) is given by Rieman-Stielties integrals

c([0, 1]) 3 f →     fdF

associated to functions F of finite variation on [0, 1].  Consider a set of functions χx  = χ [x,1], which for x e (0, 1) are equal to zero on  [0, x) and one otherwise. This is an uncountable set of linearly independent functions with the property that total variation norm of a difference of any of two such functions is equal to one. This implies that the dual space cannot be separable.

(c)    Since the subspace W is closed, it is a Hilbert space in itself.     Then, by Riesz

representation theorem there exists a unique vector u之  e W such that

z(v) =（u之 , v）

and

lzl = lu之 l.

By Hahn-Banach theorem, there exists a functional  on l2 such that its restriction to W coincides with z and its norm satisfies  ll = lzl.    Again invoking Riesz representation theorem on l2 , we can find a unique vector 之  e l2  representing  and such that l之 l = ll = lzl = lu之 l. Since by our assumption

（u之 , w）=（之 , w）

for all w e W , the vector 之 - u之  is orthogonal to W and in particular to u之 .  By parallelogram identity we have

l之 + u之 l2 + l之 - u之 l2 = 2lu之 l2 + 2l之 l2

and hence, using 之 - u之  l u之 , we get

l之 + u之 l2 + l之 - u之 l2 = l之 - u之 + 2u之 l2 + l之 - u之 l2

= 2l之 - u之 l2 + 4lu之 l2 .

This together with parallelogram identity implies

l之 - u之 l2 = l之 l - lu之 l = 0.

Thus we conclude that

之  = u之 .

…←   (a)    We have

lTnf(x) _ Tngl2 = and hence

│                                             │ 2

|ξ|2 Hn(x)2 │    Hn(y) (f(y) _ g(y)) µ(dy)│  µ(dx).

│                                           │

lTnf _ Tngl = |ξ| . lf _ gl.

Thus the operator is strictly contractive for |ξ| < 1.

(b)    To show that for |ξ| = 1 it is only weakly contractive (or to show that it is not contractive at all for |ξ| > 1 ), consider f = Hn  and g = λHn  with λ e _.  Using orthogonality of Hermite polynomials we can show that

Tn(αHk + βHn) = Hk + βξHn .

Hence we get the following condition for a fixed point

α = 1,        β = βξ.

If |ξ| < 1, the only solution is α = 1,        β = 0, while for |ξ| = 1 one gets infinitely solutions with α = 1,        β e _.

(c)    For n e N define

n

We have

n     1  │                             │ 2         n     1

n=2 pn(2)  │                             │      n=2 pn(2)

Thus KN   is  bounded.   This  is  a finite  rank operator  mapping  l2   into  a finite dimensional subspace spanned by Hn,  n < N .  Since a bounded operator with finite dimensional range is compact, each Kn  is a compact operator. We can show that the sequence KN, N e N of compact operators converges in Hilbert-Schmidt norm to K as follows.  First of all we have

lKN _ KlH(2) >S  =            |IHn , (KN _ K)Hn|2

n-Nì2

1

=

n-Nì2 pn(2) .

It is known that the k-th prime number asymptotically is of order

pk  ~ k log(k),

and from basic series analysis one knows that

 < o.

This implies that

lKN  _ KlH(2) >S     →   0.

Noo

Since the Hilbert-Schmidt norm dominates the operator norm, so KN  → K in the operator norm as well. This together with the fact that KN’s are compact implies that K is a compact operator.

4.   (a)    By definition of the subspace

V = {f é √ ([0, 1]) : 刁c é 佟 Ⅴx é [1/3, 2/3] f(x) = c}

if fn   é  V,  n  é  …,  converges  to  a  function  f  in  the  supremum  norm,  then it converges  pointwise  uniformly on a compact  interval  [0, 1].   Hence the  limit f(x) = limnì&fn(x) is well defined and it is a continuous function. Moreover for any x é [1/3, 2/3] we have fn(x) = cn  and the sequence of numbers cn , n é …, is

convergent to a number c é 佟, the same for all x é [1/3, 2/3].  Hence f é V and so the subspace V is closed.

(b)    We need to show that V does not contain any open ball of (√ ([0, 1]), |．|g), i.e. that any set

Bf,e = {g é √ ([0, 1]) : |g - f| < ε}

contains functions which do not belong to V .   To this end consider a function

,．f(x),                 ī≥ x é [0, 1/3] u [2/3, 1]

．

．

．．3ε(1/2 - x) + f(2/3) + ε/2 ī≥ x é [1/3, 1/2]

By our definition of the function g, we have

|g -f| =  sup  Ig(x) -f(x)I =     sup     Ig(x) -f(x)I = Ig(1/2) -f(1/2)I = ε/2. uà|à ,|J                                 uà||/á ,今/áJ

Thus g é Bf,e  and g  V .  Since ε é (0, &) was arbitrary, we conclude that the closed set V does not contain any open ball and so its interior is empty.

(c)    The proof is based on use of Banach-Steinhaus theorem: Let X and Y be a Banach space and a normed space, respectively. If a family of operators Ta  : X → Y , α é ← , for some index set ←, satisfies

Ⅴx é X刁cu  é (0, &)

then

sup |Tax|Y  ≤ cu ,

aà←

sup |Ta| < &.

aà←

We assume that for some (zj  é 佟)jà… we have

Ⅴx é lp(ρ)

zjxjρj  < &.

j

Consider a family of functionals (fn)nà…

n

fn(x) =      zjxjρj .

j=|

Using H¨older inequality, with  +  = 1, we have

z

Ifn(x)I ≤  l n    IzjIaρj、 J   |x|l尹 ←o（,

and thus all operators 1n  are bounded from the Banach space ap(o) to ← (which with the modulus l . l form a normed space). Moreover

1

|1n| <  l3jlgoj． g  .

In fact one can choose z so that the equality is attained.    By our assumption of convergence of the series

3jzjoj

j

we have

Vz e ap     3cz  e (0, o)

Hence by Banach-Steinhaus theorem

sup l1n(z)l < cz

n

sup   sup   l1n(z)l < o.

n    lzllp(o）

That is using our expression for the norm |1n| we have

1

╱ n    l3jlgoj、 g   < o,

n

which implies that 3  e ag(o).   Finally since o is normalised, we can use H¨older inequality

|3 |lg~(o) < |3 |lg(o)

for all g˜ e [1, g].

5.   (a)    Suppose (X, | _ |X ) and (Y, | _ |Y ) are Banach spaces such that X < Y and aC e (0, o)   Vx e X        |x|Y  = C|x|X

the identity map from X to Y is a compact operator (i.e.  maps bounded sets in X to sets in Y which after closure are compact).  Then we say that the Banach space (X, | _ |X ) is compactly embeded into the Banach space (Y, | _ |Y ).

(b)    For a nonnegative integer m e Z+  and p e [1, o], and for an open set Ω < RN , the space Wm,p(Ω) is by definition the space of (equivalence classes of) functions f e Lp(Ω) such that Vα f e Lp(Ω) for all derivations Vα  of length |α| = m, that is for any ϕ e c<  compactly supported in Ω we have

fVα ϕdλ = (l1)lαl       gϕdλ

and g e Lp(Ω).  It is a normed space equipped with the norm

|Vα f |Lp(Ω)

lαl_m

or equivalent norm, for p e [1, o)

1

|f |m,p =  ╱

while for p = o

lαl_m

(c)    First of all we note that

(y _x)2

VTf (x) .     (x l y)e_     2        f (y)λ(dy)

Ω

and hence for any r, s e (0, o)

|VTf |p = ╱  Ω │  Ω (x l  y)e_  f (y)λ(dy)│p λ(dx)、

(w)2

= |Ω|||w|e_   2     |s _ |f |r

Hence for f  e Lr, we have Tf  e W1,p, for any p = r  Using this, in particular with 2 = r, together with the Relich-Kodrachov compact embedding theorem we conclude that

{Tf : |f |2 = 2}

is compact in L2(Ω).