MTH1030/35: Assignment 3, 2022

1    Sequences

1.1    [10 marks]

Show that the following sequence has a limit and find this limit.

≥2, ′2 ≥2, ′2 ′2 ≥2 , . . .

Hint: Express the terms of this sequence as powers of 2.

1.2    [10 marks]

Let a1  = a, a2  = f (a1 ), a3  = f (a2 ), . . . , an+1  = f (an ), where a is some number and f is a

continuous function. If  lim an  = L, show that f (L) = L.

Now, let a = 1.

Find an example of a function f such that the corresponding sequence converges and such that f (x) = x has exactly 1 solution.

Find an example of a function f such that the corresponding sequence converges and such that f (x) = x has more than one solution.

Find an example of a function f such that the corresponding sequence diverges and such that f (x) = x has no solution.

Find an example of a function f such that the corresponding sequence diverges and such that f (x) = x has a solution.

Hint: This and some of the other questions in this assignment ask you to come up with some examples of functions and series that have certain properties. ALL of these questions have VERY simple functions and series as answers. Please don’t overcomplicate things :)

2    Serious series

2.1    [10 marks]

The alternating series test is a theorem which says the following: If a series a1 一 a2 + a3 一 a4 + a5 一 ...

satisfies (1) an  > 0, (2) an  ≥ an+1  and (3) limn二o an  = 0, then the series converges.  Very powerful and very useful. For example, the series

1 一  +  一  +  一 . . .

satisfies (1), (2), and (3).

a) Give an example of a divergent series that satisfies (1) + (3) but not (2).

b) Give an example of a divergent series that satisfies (1) + (2) but not (3).

2.2    [10 marks]

a) If both      an  and about the two series?

b) If one of      an  and and which diverges?

 亡an 亡 converge and both sums are equal what can you conclude

 亡an 亡 converges and the other one diverges, which converges

2.3    [5 marks]

o                      o

Let       an  and       bn  be two divergent series. Consider the interlaced series

n=0                    n=0

a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + a4 + b4 +．．．.

Is it possible that the new series is convergent? If you think that this is not possible give a reason why. If you think that it is possible give an example.

2.4    [10 marks]

For which values of x does the following series converge?  And, for those x for which the series converges, what is the sum of the series?

o   cosn (x)

2n       .

n=1

Warning: Careful, we start with n = 1 and not n = 0.

2.5    [10 marks]

Consider the unit square in the xy-plane whose corners are (0, 0), (1, 0), (0, 1) and (1, 1). Subdivide it into nine equal smaller squares and remove the square in the centre.  Next, subdivide each of the remaining eight squares into nine even smaller squares, and remove each of the centre squares.  And so on.  The following diagram shows what’s left after the first three steps of this construction. Give an example of a point in the original square that never gets removed. Show that the area of what is left over when all those squares have been removed is 0, by verifying that the sum of the areas of all the removed squares is 1.

2.6    [10 marks]

Consider the series

n     

(n + 1)!

n=1

Calculate the first four partial sums of this series.  Do some pattern spotting to come up with a simple function p(n) such that sn  = p(n) for n = 1, 2, 3, 4. Assuming that sn  = p(n) for all n, show that our series is convergent and evaluate its sum.