MATH2305/MATH6405 - Applied Mathematics I/Ordinary Differential Equations & Advanced Vector Calculus (Assignment 2.)

a).  Be sure to cite any sources you use for the assignment (whether it is a book or a webpage). If you discussed the problem with other students in the class, please declare that too.

b). If possible, check that your solution is correct.

c). If appropriate, write solutions in explicit form.

d). In all questions, where Matlab is needed, include your copy of the Matlab code that you used to get the answer.

e).  Remember to put labels on the axes of your plots, label to different functions, if necessary, and also add a title for the plot.

In this assignment part of your mark (3 points) for the assignment will be given on how well you have presented your solutions: have you skipped several steps?  is your solution messy?  are your notations consistent? is it hard to understand what you wrote or is it easy to follow?

Question: 1 (Linear first order DEs)                                                                                            7P.

Consider the initial value problem

y/ _ 2y = 3e_t,    y(0) = a,

where a is a constant.

a). Find the solution of the initial value problem.                                                                 (3P.)

b). How does the solution of the initial value problem behave as t → o?  Does the behaviour depend on the initial value a? If yes, find the critical value of a for which transition from one type of behaviour to another happens. Denoting this critical value of a by a0 use Matlab to plot solutions to three choices of a: a < a0 , a = a0  and a > a0 . Use the same graph to plot all three solutions and choose a large enough interval for t to demonstrate the difference in

the behaviour of solutions.

Question: 2 (Small changes in initial condition)

Consider the differential equation

dy

a). Find the general solution of the above DE.

(4P.)

9P.

(1)

(2P.)

b).  Solve the initial value problem                                                                                          (1P.)

dy

Find the largest interval where your solution is the solution of the IVP.

c).  Solve the initial value problem                                                                                          (1P.)

dy

Find the largest interval where your solution is the solution of the IVP.

d).  Solve the initial value problem                                                                                          (1P.)

dy

Find the largest interval where your solution is the solution of the IVP?

e).  Show that solution of the IVP in part c) is the only constant solution (that is solution y such that y = a for all x e R).  These solutions are called equilibrium solutions.  Is it necessary to solve differential equation to find the equilibrium solutions?                                      (1P.)

f).  Describe the behaviour of solutions of parts b) and d) relative to the equilibrium solution as x grows.  Use Matlab to plot solutions to all three IVPs above in one graph.  Choose a large enough interval for x to demonstrate the difference in behaviours of solutions in parts

b) and d).

Question: 3 (Investigating systems of equations using  MATLAB)(

(3P.)

14P.)

For this question, investigate the SIR model for disease spread using the software Matlab.  The SIR model is described in the class notes around p150.  It might help to use the sample Matlab script ‘simple ode system’ provided on Wattle.

The SIR model consists of the system of equations

dS

= _k1SI

dt

dI

= k1SI _ k2I

dt

dR

= k2I

dt

with S the number of susceptible people, I the number of infectives, or infected people who might infect others, and R removed people, who can neither be infected, nor infect anyone else.

a). You are providing advice to the government of a country of 20 million people on the spread of a new disease, supercooties2025. Supercooties2025 has spread through a similar country, where, at the start of the epidemic, each infected person had a 30% chance of infecting someone else each day, and had a 10% chance of recovering each day.  (Supercooties2025 is

very rarely fatal, but highly unpleasant.  It is a matter of national importance to stop the spread of supercooties.)

Explain why it is appropriate to use the parameters k1  = 0.3/20, 000, 000 and k2  = 0.1 in

the SIR model, with initial conditions S = 20, 000, 000, I = 1, and R = 0.                  (2P.)

b). Assuming these parameters, use Matlab to plot a prediction for the spread of supercooties2025 in your country. Provide a qualitative description of the spread of supercooties2025, for ex- ample, how many people will catch supercooties2025 in the end?  What is the maximum number of people who will have supercooties at any one time? When will this peak occur? (3P.)

c). Lockdowns are in fashion.  You estimate that a lockdown will reduce an infected person’s chance of infecting someone else by a factor of 2. Explain how this will change your parame- ters, plot a prediction for the spread of supercooties2025 in this senario, over an appropriate timespan, and provide a qualitative description of how this measure will change the spread of supercooties, readable by your elected representatives.                                               (2P.)

d). Your government is considering spending 500 million on testing and quarantine support for supercooties2025.  For this, you estimate that each day, an infected person has a 10% chance of being detected  and quarantined so they don’t infect  anyone else.   Why is it reasonable to use the SIR model with k1  unchanged, but k2  = 0.2 in this scenario?  Model it using these parameters, plot your prediction for the spread of supercooties2025 in this scenario, and provide a qualitative description of how this measure will change the spread of supercooties2025, comparing to the lockdown option.                                                (2P.)

e). After looking at your model, you worry that maybe the number of quarantined people might overwhelm the system, which is designed to quarantine up to fifty thousand people at once. Modify the SIR model to include a new variable Q, which keeps track of quarantined people, so S are susceptible, I are unquarantined infectives, Q are quarantined infectives, and R is the number of recovered people.  Write your system of equations, solve the initial value problem in Matlab, and produce a plot summing up this information.  Then describe your results in plain language. Will the quarantine system be overwhelmed? If so, when?  (3P.)

f). For an extra 3 billion dollars, your government could increase the effectiveness of their testing and quarantine program so that a reasonable value of k2  is 0.35.  How does this affect the spread of supercooties2025?                                                                              (2P.)

Question: 5 (Exact equations)                                                                                                       7P.

Test the given DEs for exactness.  If they are exact, solve them.  If they are not exact, find an appropriate integrating factor and solve them.

a).  (yexy cos 2x _ 2exy sin 2x + 2x)dx + (xexy cos 2x _ 3)dy = 0;

b).  ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0.

(3P.)

(4P.)