MATH/MTHE 339: Evolutionary Game Theory Homework Assignment 2

1. (5 marks total) Consider the following 2 player normal form game:

Nicole

The values x and y are variables that represent any real number. We want to know how different values of x and y influence whether there is a Nash equilibrium in pure strategies or whether there is one in mixed

strategies.

a.  (1 mark) For which values of x and y is (D,L) a pure Nash equilibrium?

b.  (1 mark) For which values of x and y is (D,R) a pure Nash equilibrium?

c.  (3 marks) For which values of x and y is there no pure Nash equilibrium? And, what is the mixed Nash equilibrium? (Note: you will write it as a function of the variables x and y .)

2.  (5 marks) Find all the pure and mixed Nash equilibria and calculate the players’expected payoffs at these equilibria for the following normal form game:

Nicole

3. (5 marks) Consider the following normal form game:

Nicole

a. (2 marks) Find all the pure and mixed Nash equilibria of this game.

b. (3 marks) Imagine that there is a third party who will send strategy recommendations to the players. With probability 1/2, Andrew is told to play U and Nicole L. With probability 1/4, Andrew is told to play

U  and Nicole R.   With probability  1/4, Andrew is told to play M  and Nicole R.   Note that the players

know what recommendation they are given, but may not know exactly which recommendation the other

player is given. Rather, they know the above probabilities. Check to see if these recommendations induce a correlated equilibrium. What is the expected payoff for each player?

4.  (5 marks) Two companies, Dylar and Yoyodyne, produce the same good, which is then sold on the market. At the beginning of the year, both companies simultaneously decide on a quantity of the good to produce that year; we denote by qD and qY the quantities that Dylar and Yoyodyne produce, respectively (in

millions of units per year). The market price of the good that year, p(qD ,qY ), depends on the total amount produced by both companies:

p(qD ,qY ) = 2 −  (qD + qY ).                                                           (1)

The unit cost of production is the same for both companies, thus the costs are c(qD ) = qD  and c(qY ) = qY

for Dylar and Yoyodyne, respectively. We assume that every unit of the good that is produced is sold at the market price. Hence, the payoffs (profit in millions of dollars) are:

πD (qD ,qY ) = p(qD ,qY )qD − c(qD ) = ╱2 −  (qD + qY )、qD − qD , πY (qD ,qY ) = p(qD ,qY )qY  − c(qY ) = ╱2 −  (qD + qY )、qY  − qY ,

(2)

(3)

for Dylar and Yoyodyne, respectively.

a.  (1 mark) Find the best response functions for both companies: BRD (qY ) and BRY(qD ).

b.  (1 mark) Find the Nash equilibrium in the simultaneous game.  What quantity of the good should

each company produce?

c.  (1 mark) What is the payoff (profit in millions of dollars) to each company at the Nash equilibrium?

d.   (2 marks) Suppose that Yoyodyne has the choice to invest in a new technology which will reduce

their cost of production. The technology reduces the cost of production by 50%, but it costs 1 million dollars

per year to use this technology. Hence, if Yoyodyne decides to invest in the technology, their payoff function

becomes:

πY (qD ,qY ) = p(qD ,qY )qY  − c(qY ) − 1 = ╱2 −  (qD + qY )、qY  −  − 1,                      (4)

Note that Dylar does not have access to this technology, but will know whether or not Yoyodyne decides to invest in the new technology (i.e. they know the payoff function of Yoyodyne). Should Yoyodyne invest in the technology or not? Has the technology increased the sum of the profits of both companies (i.e. the “social” outcome)? Justify your answer.

5.  (5 marks) Suppose that there are 2000 commuters that wish to get from their suburban homes, H, to work downtown, W, in a minimal amount of time. At the moment, there are two options. One option is to go along the route that passes from home to point A, and then from point A to work; the other option is to go from home to point B and then from point B to work. The roads AW and HB are consistent: they always take 25 minutes to traverse. The roads HA and BW are less reliable: the transit time depends on how many other commuters choose to travel along those roads. Specifically, if n commuters take road HA, then the transit time for each commuter is n/100 minutes along this road. Similarly, if n commuters take road BW, then the transit time along this road for each commuter is n/100 minutes.

Figure 1: Roads and travels times from home H to work W.

We can think about this situation as a game with 2000 players, the commuters. Each commuter simul-

taneously chooses whether to go along the path HAW or the path HBW. As an example, if a commuters choose the path HAW and b commuters choose the path HBW (with a + b = 2000), then the total travel