STATS 120C/281C Homework 1

Show all work.   Where applicable, write out formulas using notation and then plug in relevant numbers and quantities. You can leave numeric answers in unsimplified form.

This file is private intellectual property and cannot be distributed, sold, or reproduced without written permission of the owner.

1.  Verify that the two-sample t test at level α (can assume α = 0.05 and critical value of 1.96) of H0  : µX  = µY  versus HA  : µX   µY  rejects if and only if the confidence interval for µX  − µY  does not contain zero.

2. Considered two methods of estimating Var( − ). Under the assumption that the two popu- lation variances were equal, we estimated this quantity by

sp(2)(  + )

and without this assumption by

sX(2)         sY(2)

n       m

Show that these two estimations are identical if m = n.

3.  Let X1, X2 , ...., Xn  be iid according to a N(µ, σ2 ), where µ is unknown but σ 2  is known.  Take the one-sample mean test of H0  : µ = µ0  vs.  HA  : µ  µ0  (assume under the alternative the true value of µ is equal to µA ).

Assume α = 0.05 and a large sample size n (say n ≥ 100).  This implies the critical value for this test is approximately 1.96.

a. Derive the form to compute the power of this test.

b. Calculate the power of this test when µ0 = 5, µA = 4.1, σ 2 = 9, α = 0.05, and n = 100.

c. Again, let µ0 = 5, µA = 4.1, σ 2 = 9, and α = 0.05. We would like our power to be equal to 0.90. What would the sample size need to be to achieve this power.