PHY493/803, Intro to Elementary Particle Physics Example Midterm Exam 2

1.  (5pts x 5)  Answer True or False for each question:

a)  The cross section and the decay rate both depend on the matrix element in the same way.

___________________________________________

b)  QED is a full, quantum mechanical model for spin-1/2 particle interactions. ___________

c)  Dirac spinors in QED have two components. ___________

d)  Synchrotrons use magnetic fields to maintain a linear path for particles moving at high velocity.

____________

e)  At very relativistic energies, electrons primarily lose energy via Bremsstrahlung when passing through materials.

________

2.  (10 + 5 + 5 + 5 pts)

a)  What is the length L of the drift chamber in a linear accelerator that   operates with a frequency F of 30 MHz and accelerates electrons to a momentum of 0.5 GeV?  Assume that the electrons will travel the full length of the chamber before the voltage swings from positive to        negative (or vice versa).

b)  What is the dominant process by which photons lose energy at low        energy (photon energies around 1 keV)? Provide a brief (1-3 sentences)

answer.

c)  What is the dominant process by which photons lose energy at high energy (photon energies of more than 1 GeV)? Provide a brief (1-3  sentences) answer.

d)  What class of Feynman diagram is illustrated below?

a)   s-channel

c)   t-channel

b)  u-channel

d)  m-channel

3.  (8 + 8 + 9 pts)

A muon with an energy of 1 TeV enters a Copper absorber (density about 9 g/cm3).

a)  Describe and/or draw the Feynman diagram for the dominant mode by which this muon loses energy in the copper.

b)  What is the energy lost by the muon after passing through 1 m of copper (to within a factor 2)?

c)  After the copper absorber, the muon passes through a gas ionization      chamber where it loses 2 MeV energy. The energy required to create an electron-ion pair is 20 eV. The chamber has a 50% charge collection        efficiency. Calculate the charge collected by the chamber in Coulomb.

4.  (10 + 5 + 5 + 5 pts)

a) Draw the two lowest-order Feynman diagrams for the process  !  +  !   →   !  +  !

b)  Using the Feynman rules, label the particles and set up the formula for   the matrix element of your t-channel diagram in part (4a).  Do not           perform the integral at this point.  Feynman rules are given on the last 2 pages of the exam.

c)  Now perform the integral, get rid of the delta functions, and calculate the final matrix element for the t-channel process in part b.

d)  Start from the matrix element for a t-channel process of two particles,  = −  [$γ%  &]-'γ% (.. Use Casimir’s trick to write the spin-        averaged matrix element 〈||( 〉 in terms of traces. You don’t need to solve the resulting traces.

5.  (10 + 5 + 10)  Required for 803 students, optional for 493 students.

a)  Starting from the average matrix element squared for a t-channel scattering process for a particle of mass m,

〈||( 〉 =  Tr [γ% ( &  + )) ( $  + )]Tr [γ% ( (  + ))( '  + )], where 1 and 2 are the initial state particles and 3 and 4 are the final         state particles and  = (&  −  $ )(, solve the traces and simplify the         result. You can assume  ≫  , i.e. that the mass is negligible. Express    your result in terms of the 4-momenta of the four particles and simplify as much as you can.

b)  Write down the Mandelstam variables s, t, u in terms of the momenta  &,  (,  $, ', for each pair of momenta (i.e. for s, write it down both in terms of & and  ( and in terms of $ and ' .

c)  Now substitute these s, t, u into the expression for 〈||( 〉 . You can again assume  ≫  , i.e. that the mass is negligible.

The Feynman rules for QED are given below.   Use them to  complete problems 4 & 5.  Feel free to tear these pages off.

1: Draw the Feynman diagrams, including the appropriate arrows for particles and antiparticles.

2: Label incoming and outgoing 4-momenta for each vertex, including the    internal momenta of propagators.  Conventionally, external 4-momenta are labeled  *  and internal 4-momenta are labeled  * .

3: Each external line gets a factor for the wave function, sandwiching the vertex in a current.                                                                                                    Fermions:

•   Incoming particle: ()

•   Outgoing particle:()

Incoming antiparticle: ()

Outgoing antiparticle: ()

Photons:

•   Incoming photon: % ()              Outgoing photon: % ()∗

4:  Each vertex is assigned a factor of ( ,% ), specifying the coupling strength of the interaction at that vertex.

5:  Each internal propagator line gets a factor of:

!*"$%                                                *./$ -$ 012

-"                                                           -" !1"

6:  Each vertex gets a delta function to enforce conservation of energy and momentum ( *  are the 4-momenta into/out of the vertex).  The sign of      each 4-momentum must be properly assigned, as necessary:

(2)' ' ( &  +  (  + $)

7:  Each internal propagator line gets a phase-space integration factor: