PHY493/803, Intro to Elementary Particle Physics Homework 5

Please clearly state any assumptions, show all your work, number the equations, and indicate logical connections between the lines.

1.  (10pts + 15pts + 15pts + 15pts + 15pts = 70 pts total)

Calculate the cross section for the reaction  !  "  →  !  " . Assume that the incoming particles are not polarized and that the spin projections of the       outgoing muons are not measured. Further assume that the energy of the   incoming electrons in the center-of-momentum frame is much larger than  the electron or muon masses.

Hint:  For this problem, it will be highly instructive to work through              Griffiths’ examples 7.1, 7.3, 7.5 and 7.7 first.  Griffiths’ problems 7.26 and 7.38 will also be of use to peruse first.  Note the “crossing” symmetry with the  !  "  →  !  "  scattering process.

a)  Draw the relevant Feynman diagram(s) for the lowest order process

b)  Use the Feynman rules to determine the matrix element.

c)   Use Casimir’s trick to calculate the spin-averaged square of the matrix element 〈|ℳ# |〉 . You can use the approximation $  ≫ % .

Hint: You will need the following trace relationships:

[% ( 1 +$ )& ( 2 − $ )] = 45'(%) #(&)  +  #(%) '(&)  − %& ('  ⋅  #)9        [%( 3 + %)&( 4 − %)] = 4{ (,%*,&+ *,% (,&  −  %&( (  ⋅ *)} And remember to average over initial state spins and sum over final state spins. And %&  %&  = 4.

d)  Calculate the cross section, starting from the average matrix element      〈||# 〉 =  (('  ⋅  ()( #  ⋅ *) + ('  ⋅ *)( #  ⋅  () and remember that the cross section is given by the golden rule,  =    . Give

your result in the center-of-momentum frame. You can use the approximation $  ≫ % .

e)  How does the differential cross section for  !  "  →  !  " compare with the cross section for  !  "  →  !  " scattering at the same electron         energy (see Griffiths problem 7.38)?

2.  (25+15 pts)  {Required for PHY803 students only. +40 pts extra credit for PHY493 students.}

,# :;'(#) "*;  <!(#) (/#

Imagine that the photon, instead of being a massless vector (spin 1)  particle, were a massive scalar (spin 0). Specifically, suppose the QED vertex factor were ige 1

(where 1 is the 4 by 4 unitary matrix), and the ‘photon’ propagator

were

"=         

># ":;* ?<# .

There is no photon polarization vector now, and hence no factor for   external photon lines. Apart from that, the Feynman rules for QED      are unchanged. Assuming it is heavy enough, this ‘photon’ can decay. Calculate the decay rate for γ →  !  +  " .

Notes:

a.   The description of the problem begins on the previous page (pg 272 in my book).

b.  It is helpful to calculate the width in the COM frame.

c.  The trace to compute in this case is

@%#(%)  + $ A@%#(%)  −  $ A =  #  ⋅  (  − 4 #$