Nonlinear Econometrics for Finance Final Exam - 2022

Question 1

Consider three independent  random variables xl , x2  and x3  with the same expected value µ and

variances 1/8, 1 and 4, respectively. Consider, also, two estimators l  and 2  defined as l = x3 + x2

and

2 = 2xl - x2 .

Choose the best answer:

A) Both l  and 2  are unbiased for µ and they are equally efficient

B) Both l  and 2  are unbiased for µ but 2  is more efficient

C) Both l  and 2  are biased for µ

D) Both l  and 2  are unbiased for µ but 3 = x2  is preferable to both

Question 2

Consider a population with mean µ and variance σ 2  < o. After collecting an IID sample of T ob- servations, you estimate the mean of the population with an estimator T  such that E(T ) = 0.5µ and V(T ) = σ  . Which statement is correct?2

A) The estimator T  is not consistent but 2 T  is

B) The estimator T  is consistent because its variance goes to zero

C) We cannot determine whether the estimator T  is consistent with this information

D) The estimator 2 T  is unbiased but inconsistent

Question 5

Suppose you have a sample of T observations from a normally distributed random variable X ~ N (µ, σ2 ). You are interested in estimating the mean of the population µ but, instead of using the sample mean X =       Xt  as your estimator, you decide to use the sample median Xmed. After consulting a statistics book, you discover that

Xmed ~ N ╱µ, 1.5707 、 .

Choose the best asnwer:

A) The median Xmed  is not a consistent estimator of µ

B) The median Xmed  is as efficient as the mean X because its variance also goes to zero

C) The median Xmed  can only be used to estimate the population median and should not be used to estimate µ

D) None of the above

Problem 1 (80 points)

Consider the following linear regression model:

Rt(e),i = αi + βiRt(e),m + εt,i ,

where Rt(e),i  is the excess return on an asset i, Rt(e),m  is the excess return on the market and εt,i  is a standard shock with the following properties E[εt,i] = 0 and V[εt,i] = σε(2), for all assets i.

Notice that the model implies the CAPM if αi = 0 for all assets i. In fact:

E(R ,i) = αi + βiE(R ,m)

Please note:  all the questions in Problem 1 are separate and can be tackled without solving previous questions.

1.  (15 points.) What is the economic interpretation of αi?

2.  (20 points.)  The least-squares estimator of αi  is i  =       Rt(e),i  - i         Rt(e),m . Using

the Weak Law of Large Numbers and Slutsky’s theorem, show that

IT (i - αi) 二(d) N ╱0, ╱ 1 + \ σε(2)\ ,                                      (1)

where µRù(μ)   is the expected excess return on the market and σR(2)ù(μ)   is the variance of the excess market return, using the fact that

IT (i - βi) 二(d) N ╱0, \ .

3.  (15 points.) Use the asymptotic distribution in Eq.  (1) to test the hypothesis αi = 0. (Be as precise as possible.)

4.  (10 points.) Consider, now, N assets, rather than one. Write the vector of N intercepts as

╱ α(α)2(l) 、

．.αN(..)． .

Also, denote by Σε  the variance/covariance matrix of the vector ε, where

╱ εt,l 、

εt,N

We have

IT ( - α) 二(d) N ╱0, ╱ 1 + \ Σε\ .

Discuss why Eq.  (2) follows logically from Eq.  (1).

(2)

5.  (20 points.) Use Eq.  (2) to construct a one-sided test of the hypothesis that the vector α is equal to zero.

Problem 2 (80 points)

In order to understand whether positive shocks to returns (induced by favorable aggregate news) have a different impact on variance than negative shocks to returns (induced by negative aggregate news), we run an asymmetric GARCH(1,1) model. We also allow for GARCH-in-mean effects:

rt     =   λht + εt ,

εt     =   ìhtut  with ut ~ N (0, 1),

ht     =   α0 + αlht − l + α2 εt(2)− l+ α3 εt(2)− l 1{ε≥ − ≥<0} .

The conditional mean output:

ht

Estimate

3.3827

Std.  error

1.1670

t-ratio

2.898

p-value

0.0037

1.  (10 points.) Test formally the hypothesis that α3 = 0 and interpret your results economically.

2.  (10 points.) Test formally the hypothesis that λ is equal to 4.

3.  (10 points.)  Suppose that λ = 4 is a classical measurement of investors’ risk aversion.  How

would you interpret economically the conditional mean of the model, i.e., Et − l(rt) = λht?

4.  (10 points.) If λ = 4, what is the conditional distribution of rt  given ht = .0000314?

5.  (20 points.) The last return in the sample is -0.0045 and the value of hT  associated with the last observation in the sample is .0000314. Write the one-day ahead forecast of the variance for time T + 1 (i.e., the one-day ahead out-of-sample forecast).

6.  (10 points.)  Use your result from Point 5 to find the one-day ahead 1% Value at Risk on a million dollar investment in the S&P500 index.

7.  (10 points.) If ht −2  increases by a specific amount δ, what is the impact on ht?

Problem 3 (80 points)

A bank wants to predict the probability that a borrower will repay a loan. The bank has data on previous borrowers that can be used to estimate a model for the probability of repayment.  Let xi  = (xli, x2i, ..., xKi ) be a 1 x K vector containing some demographic characteristics of borrower i, such as income, current debt, employment status, gender, race, location, etc.  The bank knows for each borrower i in the sample whether she/he repaid her/his loan (yi = 1) or not (yi = 0). The repayment probability is modeled according to a logistic regression model in which the probability that the borrower is repaid is

ex ﹔β    

P (yi = 1|xi; β) = p(xi; β) =

where β = (βl, β2 , ..., βK )T  is a K x 1 vector of parameters to estimate.  Suppose the bank has a database with an IID sample of n borrowers, so the data are

yi, xi     for   i = 1, ..., n.

Given this information, please answer the following questions.

1.  (25 points.) Write the likelihood of the model.

2.  (25 points.) Show that the standardized log-likelihood can be written as  log L({x}, β) =  ╱ i   l yixiβ - log ╱ il  ì 1 + ex ﹔β/\\ .

3.  (30 points.) Show that the ML estimates n  can be obtained by solving the following system of equations:

       (yi - p(xi; β)) xki = 0   for   k = 1, ..., K.

Problem 4 (80 points)

Consider the following model for the short-term interest rate:

drt = α0 dt + γ0dBt ,

where drt  is the continuous-time change in the interest rate, Bt  is a Brownian motion and (α0 , γ0 ) are two parameters to estimate.  We wish to estimate this model using GMM and, in order to do so, we discretize it in the following way:

rt＋A ≥  - rt = α0 ∆t + γ0 εt＋A ≥ ,

where the variable εt＋A ≥     N (0, ∆t) is iid. Note that “discretizing” the model simply means going from “continuous-time” (dt) to “discrete-time” (∆t) which is more consistent with the way in which data is sampled.

1.  (25 points.) Using the discretized model, compute Et[rt＋A ≥  - rt] and Vt[rt＋A ≥  - rt].

2.  (30 points.)  Use the results in Point 1.  to derive two moment conditions to be used for the estimation of the model parameters. What are Γ0  and Φ0  for this model?

3.  (25 points.) Suppose that your model contains another parameter, γl:

drt = α0 dt + γ0rt(γ)≥ dBt .

Modify the previous discretized model to obtain a new discretized model (with three param- eters, i.e., α0 , γ0  and γl) and derive 3 moment conditions to estimate the three parameters. Hint:  use rtVt[(rt＋A ≥  - rt)] to  derive the third moment condition.