MTH1030/35: Assignment 1, 2022

The Rules of the Game

Before starting to work on this assignment, please make sure that you understand the in- structions on Moodle that go with our assignments (Assignment 1 rules and F.A.Q. plus

Academic integrity, plagiarism, and collusion policy).

This assignment is worth 100 marks.

Use your new tools!

This assignment is all about exploring some unusual features of cubes and right angles by solving a number of problems.  There are different approaches to solving these problems, including some that don’t involve the new tools that we introduced at the beginning of this course.  However, to make this assignment into a meaningful exercise you should only use our new vector tools in your solutions:

● The dot product for calculating angles and checking quickly whether an angle is a right angle.

● The cross product for calculating vectors that are perpendicular to two given vectors (or a plane) in space and for calculating areas of parallelograms, triangles, and other plane figures in space.

● Line equations for describing lines in space.

● Plane equations for describing planes in space. Etc.

a) Sometime last weekend, the parallelogram P materialised in the foyer of the maths build- ing, a harbinger of more sinister things to come; see question 3.  Let M , N, and O be the orthogonal projections (=shadows) of this parallelogram onto the xy-plane, the xz-plane and the yz-plane, respectively.1

z

 N

O

x

M

Figure 1: The mysterious parallelogram and its orthogonal projections onto the three coor- dinate planes.

Prove that if m, n, o, p are the areas of M, N, O, P , respectively, then

m2 + n2 + o2  = p2 .

Start your proof by letting u =  (u1 , u2 , u3 ) and v =  (v1 , v2 , v3 ) be vectors that span the parallelogram. Then express the left and right sides of the equation that we are aiming for in terms of these coordinates and show that the two expression you get are equal.

(15 marks)

1 The orthogonal projections of a point  (a, b, c) onto the xy-plane, the xz-plane and the yz-plane, re- spectively, are the points (a, b, 0), (a, 0, c) and (0, b, c).  The orthogonal projection of a shape in space onto one of the coordinate planes is simply the collection of the orthogonal projections of all its points onto this coordinate plane.  If the ground we stand on is one of the coordinate planes then an orthogonal projection of a shape onto this ground is just the shadow cast by the sun when it is right above, with its rays hitting the ground at right angles.

b) Slicing a corner off a square gives a right-angled triangle the lengths of whose sides are connected by Pythagoras’s theorem:  a2  + b2  = c2 .  Show that this two-dimensional setup generalizes to three dimensions as follows:  Using a plane, slice a corner off a cube.  This sliced off corner has four triangular faces. Three of the faces are right-angled triangles and one face is not. Let’s call the areas of the three right-angled faces a, b, and c and the area of the fourth face d. Then

a2 + b2 + c2  = d2 .

Figure 2: Slicing corners off a square and a cube.

(Hint: This is a pretty straightforward consequence of the result in part a). However, if you cannot see the connection, you can also derive this from scratch.)

(7 marks)

c) Have you seen this strange object in front of the State library? It is one of the corners of a cube with the approximate measurements in meters indicated in the photo below.  Using 1b calculate the area of the triangular cut this corner.

(3 marks)

Figure 3: A cubical corner in front of the State library on Swanston Street.

2    The Big Cube (50 marks)

Who knows where in the city you can find this gigantic sunken cube?

Figure 4: Two views of the big Cube.

Your survival in MTH1030 depends on you finding the coordinates of the corners A, B, C, D of the top square, as well as the coordinates of the points Az , Bz , Cz , Dz  at which four edges of the cube meet the ground.  And here A is supposed to be connected to Az  by such an edge, and similarly for B and Bz , C and Cz , and D and Dz . Here are a few clues to get you started:

● The ground coincides with the xy-plane

● The y-axis points West and the x-axis points North.

● A = (43.1162, 29.9541, 7.72383), Az  = (42.3208, 27.8349, 0), Bz  = (25.7441, 19.8898, 0).

You are also supposed to figure out the side length of the cube; how long the four segments AAz , BBz , CCz , DDz  are; how large the area of the quadrilateral Az , Bz , Cz , Dz  is; and, finally, what the volume of the part of the cube is that sits above the ground.

Very important: At the end of your report, summarise your results as follows:

A = (43.1162, 29.9541, 7.72383)

B = (*, *, *)

C = (*, *, *)

D = (*, *, *)

Az  = (42.3208, 27.8349, 0)

Bz  = (25.7441, 19.8898, 0)

Cz  = (*, *, *)

Dz  = (*, *, *)

|AAz | = *m

|BBz | = *m

|CCz | = *m

|DDz | = *m

sidelength = *m

area(Az Bz Cz Dz ) = *m2

volume  = *m3

(50  marks):  For any single one of these vectors/values that you get wrong  2 marks will be deducted.  Tough rules:  one mistake that implies other mistakes will result in every single one of these mistakes being penalized in this way—as I said your survival depends on getting this right!  Please make absolutely sure that you double-check your results before you submit your report!

3    An amazing property of unit cubes (25 marks)