MATH60006/70006/97028 Applied Complex Analysis Coursework 2

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH60006/70006/97028 Applied Complex Analysis

Coursework 2

Consider the differential equation

(1 - x2 )yJ (x) - (2α + 1)xy/(x) + λy(x) = 0,    -1 < x < 1,                   (1)

where α > -  (α ≠ 0) and λ are real parameters.

(a).  By direct substitution of the expression

n

y(x) =_ arxr ,

r =0

into the differential equation deduce that (1) has a polynomial solution of degree n (which we will call Cα)(x)) if λ = n(n + 2α).

[Note: throughout this worksheet you may drop the superscript notation (α) and

simply refer to the polynomials as Cn(x) for ease of writing should you wish to.]  [4 marks]

(b). Write down the functions p(x) and q(x) from (1) and determine the associated

weight function w(x).

[3 marks]

(c). Write down the Rodriguez’ formula for Cα)(x) . Using this obtain expressions for Cα)(x), Cα)(x) and Cα)(x) .

[4 marks]

Now consider the generating function for Cα)(x) given by

G(x, y) = (1 - 2xy + y2 )-α ,

which, when expanded in terms of y, gives

o

G(x, y) =_ Cα)(x)y

n=0

(d). Verify that this generating function produces Cα)(x) , Cα)(x) and Cα)(x) as found in part (c) (up to normalisation).

[3 marks]

(e).  Show that the polynomials {Cα)(x)} satisfy the three-term recurrence relation nCα)(x) = 2x(n + α - 1)C(x) - (n + 2α - 2)C(x).

[6 marks]

[Total: 20 marks]