Statistical Sciences 4861b/9861b Assignment #2 2022

Assume the WN process et is iid with normal distribution for all the following questions

1. For an AR(2) process given by

(1 − 1.1B + 0.24B2)Yt  = et

(a) Verify it to be stationary by finding x1   =  1/R1   and x2   =  1/R2  from the

characteristic equation and checking if |x1 | > 1 and |x2 | > 1.

(b) Use the Y-W equation ρt  = 1.1ρt − 1 − 0.24ρt −2  to find ρ1 .

(c) Using ρ0  = 1 and ρ1  as starting values to to find ρt, t = 2, 3,..., 12. Note: use R for loop to find ρt, t = 2, 3,..., 12.

(d) Let ρt  = b1R + b2R, t = 0, 1, 2,.... Then

1 = ρ0  = b1R + b2R = b1 + b2 .

Find another equation so that b1  and b2  can be solved. Compare to the com-

puted values ρt, t = 2, 3,..., 12 of (c). Are they matched?

(e) Plot the acf for this model and comment about its behavior.

2. Consider the following AR(2) models:

(i) Yt − 0.6Yt − 1 − 0.3Yt −2  = et . (ii) Yt − 0.8Yt − 1 + 0.5Yt −2  = et .

(a) Find the general expression for ρk .

(b) Plot the ρk, for k = 0, 1, 2,..., 10.

(c) Calculate σ by assuming that σ = 1.

3.   (a) Find the range of α such that the AR(2) process   Yt  = Yt − 1 + αYt −2 + et

is stationary.

(b) Find the acf for the model in part (a) with α = − 1/2.

4.   (a) Simulate two MA(2) time series with n = 500 as follows.  One is Yt  = et  + 0.3et − 1 − 0.4et −2 with et  iid N(0, 1). Another one is Yt′  = e − 1.2e − 1 − 1.6e −2 with e iid N(0, 0.25). Plot them and their corresponding sample acf. What is your finding?