MATH47101/67101 STOCHASTIC CALCULUS 2021

1.  Let  B = (Bt )t≥0   be a standard Brownian motion started at zero, and let  (Ft(B))t≥0   denote the natural filtration of  B .

(1.1)   State the definition of  B .

(1.2)   Determine whether  ～t1/4Bt1/2│t≥0   defines a standard Brownian

motion. Explain your answer.

(1.3)   Show that  τ = inf {t ≥ 0 :）Bt）= 1+It }  is a stopping time with

respect to  (Ft(B))t≥0  .

(1.4)   Show that  ～Bt +e一2Bt 一2t│t≥0   is a martingale with respect to  (Ft(B))t≥0  .

(1.5)   Set  Mt  = Bt +e一2Bt 一2t   for  t ≥ 0 . Compute  E(Mσ )  and  E(e一4σ)

when  σ = inf {t ≥ 0 : Bt  = -1 } .

2. Let  X = (Xt )t≥0   be a continuous semimartingale with values in  皿 , let  It  =  0(t) eXsds  for  t ≥ 0 , and let  F : 皿+ ×皿×皿+  二 皿  be a  C1,2,1   function.

(2.1)   Apply Itˆo’s formula to  F (t, Xt , It )  for  t ≥ 0 . Determine a continuous

local martingale  (Mt )t≥0   starting at  0  and a continuous bounded

variation process  (At )t≥0   such that  F (t, Xt , It ) = Mt +At   for  t ≥ 0 .

Let  B = (Bt )t≥0   be a standard Brownian motion started at zero, let  X = (Xt )t≥0   be a non-negative stochastic process solving

dXt  =  dt + dBt      (X0  = 0)

and let  F (t, x) = It x2   for  t ≥ 0  and  x e 皿+  .

(2.2)   Explain why Itˆo’s formula can be applied to  F (t, Xt )  for  t ≥ 0 .

(2.3)   Apply Itˆo’s formula to  F (t, Xt )  for  t ≥ 0 . Determine a continuous

local martingale  (Mt )t≥0   starting at  0  and a continuous bounded variation process  (At )t≥0   such that  F (t, Xt ) = Mt +At   for  t ≥ 0 .

(2.4)   Show that  (Mt )t≥0   in (2.3) is a martingale and compute  〈M, M〉t

for  t ≥ 0 .

(2.5)   Compute  E(τ )  when  τ = inf {t e [0, 7] : Xt  = I7 -t } .

3.  Let  B = (Bt )t≥0    be a standard Brownian motion started at zero, let  St  = sup 0≤s≤t Bs    and It  =  0(t) eBsds  for  t ≥ 0 , and let  F : 皿+ ×皿×皿+ ×皿+  二 皿  be a  C1,2,1,1   function.

(3.1)   Explain why Itˆo’s formula can be applied to  F (t, Bt , St , It )  for  t ≥ 0 .

(3.2)   Apply Itˆo’s formula to  F (t, Bt , St , It )  for  t ≥ 0 . Determine a continuous

local martingale  (Mt )t≥0   starting at  0  and a continuous bounded          variation process  (At )t≥0   such that  F (t, Bt , St , It ) = Mt +At   for  t ≥ 0 .

(3.3)   Show that if  Ft (t, x, s, i)+Fxx (t, x, s, i) + ex Fi (t, x, s, i) = 0  for all

(t, x, s, i)  with  Fs (t, x, s, i) = 0  for  x = s , then  F (t, Bt , St , It )  is a continuous local martingale for  t ≥ 0 .

(3.4)   Show that  (St -Bt )2 +  - It - t  is a martingale for  t ≥ 0 .

4.  Let  B = (Bt )t≥0    be a standard Brownian motion started at zero, and let  M = (Mt )t≥0    be a stochastic process defined by

′et 一1              

0

for  t ≥ 0 .

(4.1)   Show that  M  is a standard Brownian motion.

(4.2)   Compute  E～(1+Mt )2   0(t)(1+Ms )2 ds │  for  t ≥ 0 .

(4.3)   Compute  E～(1+Mt )2   0(t)(1+Ms )2 dMs │  for  t ≥ 0 .

(4.4)   Consider the process  Z = (Zt )t≥0   defined by

Zt  = f(t)B′et 一1

for  t ≥ 0  where  f : 皿+  二 皿  is a  C1   function. Using Itˆo’s formula examine whether  f  can be chosen so that  Z  solves

dZt  = g(t)Zt dt + dMt      (Z0  = 0)

for some function  g . If this is possible, determine  f  and  g  explicitly.

5. Let  B = (Bt )0≤t≤T   be a standard Brownian motion started at zero under a probability measure P , and let   = ( t )0≤t≤T   be a stochastic process defined by

t  = Bt -   t  e一Bs  I(Bs ≥1) ds

for  t e [0, T] , where  T > 0  is a given and fixed constant.

(5.1)   Determine a probability measure    under which    is a standard

Brownian motion.                                                                                               [7 marks]

(5.2)   Compute  ～[ 0(t) s dBs + t -0(t) s  I(Bs ≥1)ds]2 │  for  t ≥ 0 .                  [4 marks]

(5.3)   Compute  E(eτ )  when  τ = inf {t ≥ 0 : Bt  = -2  or  Bt  = 1 } .                    [7 marks]

(5.4)   Compute  ～e3 ′2(Bσ 一 0σ   I(Bs≥1) ds)一9σ│  and  ～e一9σ│  when

σ = inf {t ≥ 0 : Bt  = I5 +  0(t)  I(Bs ≥1) ds } .                                            [7 marks]

(Recall that    denotes expectation under   , and  E  denotes expectation under  P .)

6.   Let  B  =  (Bt )t≥0    be a standard Brownian motion started at zero.   Consider the stochastic differential equation

dXt  = (1 -Xt ) dt + (1+2Xt ) dBt

for a stochastic process  X = (Xt )t≥0   where it is assumed that  X0  = 1 .