PHYS5033 Environmental Footprints and IO Analysis Week 4

Week 4         Leontief,s methodology and the fundamental input-output equation

Once data has been collated into an input-output table, Leontief,s methodology can be implemented. There are a number of assumptions made with this methodology, which include (Dixon,  1996; Kitzes, 2013; Miller & Blair, 2009):

•     Industries use the goods and services of other industries to  produce their own goods or services, so the outputs of one industry are the inputs of another

•    Transactions are accounted for in monetary terms

•     There  is  a  linear  relationship  between  demand  for  inputs  and outputs 一 if demand  increases the output increases proportionately to meet the increased demand

Leontief,s  methodology  relies on  two key matrices 一 the direct requirements matrix (A) and the total requirements matrix (L). The steps taken to derive these two matrices from the T, v, and Y matrices provided in the input-output table are outlined below.

Calculate the total output (x) of the input-output table

This was discussed in detail in week 2 and provides a column vector of size (m x 1) where m represents the number of sectors in the input-output table. Total output is calculated using the following equation:

Calculate the direct requirements matrix (A)

The direct requirements matrix (A), also known as the direct coefficients matrix, provides information on the direct inputs required from each sector to produce $1 of output for a given sector. Mathematically this can be calculated by dividing the values in T by the total output x for a sector, which can be expressed as:

where i and i represent the rows and columns in T respectively.

However, because we are dealing with matrices, this calculation is not as simple as it might appear. Once again, we need to consider the sizes of the matrices being used and note that x will always be a (m x 1) vector, which means that it cannot be divided into T, which will be a (m x m) matrix.

To enable us to carry out these calculations, we rely on matrix diagonalisation and inversion, which were introduced in the reading material for week 2. A square matrix which contains zero values in all elements above and below the main diagonal is known as a diagonal matrix. Converting a (m x  1) matrix x to a diagonal matrix involves creating a (m x m) matrix with all zero values, and then placing each element of x on the diagonal such that x1  is placed in the element in the first row and first column, x2 is placed in the element in the second row and second column, and so on until xm is placed in the element in the mth row and mth column. The annotation used to indicate diagonalisation of a matrix is  .

The  inverse  of  a  square  matrix  can   be  calculated   by  considering  that  the   Identity  matrix  (I)  has similar properties to the number one (1) in non-matrix mathematics. Just as any number multiplied by its inverse will have a value of one:

any  matrix  (X) multiplied  by  its  inverse  (X-1) will  return the  Identity  matrix  (I),  with  dimensions  equal  to  the original matrix:

We use this property to calculate the inverse of X(^), and thus create a matrix which can be multiplied by T to calculate the direct requirements matrix (A):

Since T is a component of x, the values of each of the elements in A must  be less than or equal to  1,  or expressed mathematically:

The steps required to calculate A using Excel are included in Figures 4.1 to 4.3.