MTH771P / MTH771U Foundations of Mathematical Modelling in Finance Practice Questions

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

 

(d) 

 

2.  (a) In the context of a one-period model with a finite number of assets (including a bank account or other risk-free asset) and a finite number of outcomes, state the First and Second Fundamental Theorems of Asset Pricing.

 

Now, consider the following one-period model, with two assets and three possible outcomes:

 

 There is also a bank account that pays an interest rate R = 0.2 per period.

(b) Write down the set of simultaneous equations that must be satisfied by the risk-neutral probabilities (q〇 , q3 and q5 ) for this market. (You may assume that such probabilities do indeed exist in this case.)

 

(c) Solve this set of simultaneous equations to determine q〇 , q3  and q5 .

 

(d) Are there any arbitrage opportunities in this market? Justify your answer.

 

(e) Is this market complete? Again, justify your answer.

 

Consider a so-called basket put option that has payoff at time 1 given by

where A〇  and B〇  are the prices at time 1 of assets A and B respectively, and K = 30 is the pre-agreed strike price.

(b) Determine the fair price V＋  of this option at time 0.

 

(c) Suppose that you buy 200 of these options at time 0.

Calculate how many shares (units) of assets A and B you would need to buy or sell (also at time 0), in order that your overall position is risk-free.

 

4.  (a) In the context of a one-period market model with a finite number of assets (including

a bank account) and a finite number of outcomes, explain what is meant by a risk-neutral probability measure.

 

For the rest of this question, consider the following one-period model, with two assets and three possible outcomes:

 

(b) Determine whether a risk-neutral measure exists for this market.There is also a bank account that pays an interest rate R = 0.2 per period.

 

(c)  Is the  market  arbitrage-free?   (You should justify your  answer  by quoting  a  relevant theorem.)

 

Finally, answer either part (d) or part (e), depending on your answer to part (c).

(d) If the market is arbitrage-free, then calculate the price at time 0 of a European call option on asset 1, with strike K = 25 and expiring at time 1.

(e) If the market is not arbitrage-free, then find an arbitrage opportunity, explaining clearly how you arrive at your answer.

 

5.

Consider the two-period binomial model, with market parameters S＋  = 50, u = 1.3, d = 0.9 and R = 0.1. (S＋  is the initial price of the stock, u and d denote the multiplicative jump sizes of the stock price at each time step, and R is the risk-free interest rate per period.)  Denote the stock price process as S = (S＋, S〇 , S3 ). An Asian call option has payoff at time N = 2 given by where K = 60 is the pre-agreed strike price. (a) Calculate the fair price V＋  of this option at time 0.   (b) If you sold (wrote) such an option at time 0, how many shares of the underlying stock would you need to buy or sell, in order to hedge your position during the first time step?

 

 

6.

Consider the two-period binomial model, with market parameters S＋  = 100, u = 1.5, d = 0.9 and R = 0.1. (S＋  is the initial price of the stock, u and d denote the multiplicative jump sizes of the stock price at each time step, and R is the risk-free interest rate per period.)  Denote the stock price process as S = (S＋, S〇 , S3 ). (a) Determine the price at time 0 of an American put option on this stock, with strike price K = 105 and expiry time N = 2.   (b) Suppose that I sell 1000 of these options at time 0. How many shares of the stock would I need to buy or sell at time 0, in order to hedge my position for the first time-step?

 

 

7.  In the Black-Scholes model, the price of a European put option at time 0 is given by

where

assuming that the underlying stock pays no dividends during the lifetime of the option. The symbols here all have their usual meanings, and, when answering this question, assume that S＋, K , r , T and σ are all strictly positive. The function Φ is the cumulative standard normal distribution function.

(a) Sketch a graph of the option price P＋  as a function of the share price S＋.

 

(b) Using your answer to part (a), sketch the graph of the option’s delta ∆ as a function of the share price S＋.

 

(c) Finally, by partially differentiating P＋  with respect to S＋, determine the analytical formula for the delta of the option.

 

8.  In the Black-Scholes model, we showed in the lectures that the price at time 0 of a European vanilla option with payoff function vT (ST) is given by

assuming that the underlying stock pays no dividends during the lifetime of the option. The symbols here all have their usual meanings, and you may assume that S＋, r , T and σ are all strictly positive.

Find a compact formula for the price at time 0 of a European digital put option with strike price K , principal M and expiry time T . (This is an option that pays an amount M at expiry if the share price ST  is below (or equal to) K . Otherwise it pays nothing.)