Introductory Mathematics for Economists Mock Final Exam - Grading

Introductory Mathematics for Economists

Mock Final Exam - Grading

Question 1. (5%)  Find the derivative of the following function:

y = ln (2x3 + 3xe3x)

Question 2. A perfectly competitive firm sells two goods. The price for the first good is £58. The price for the second good is £21. The total cost for a firm is given by the   expression:

TC (Q1, Q2) = (5/2) Q12 + 2Q1Q2 + (1/2) Q22 + 7Q1

(A) (35%) Find the maximum profit and the optimal values of Q1 and Q2 .

(Β) (35%) If the firm cannot produce in total more than 10 units, then what would be the maximum profit and the optimal values of Q1 and Q2? Find your answer using the Lagrange multiplier. Find the value ofthe Lagrange multiplier. What economic           interpretation has the Lagrange multiplier in this context?

Question 3. (15%) Find the producer’s surplus at P = 9 for the following supply function:

P = 3 Q1/2 + 3

Question 4. (10%) An automobile dealer calculates the proportion ofnew cars sold    that have been returned a various number of times for the correction of defects during the warranty period. The results are shown in the following table.

Number ofreturns        0          1          2          3

Proportion                   0.05     0.21     0.43     0.31

Find the mean and the vatriance ofthe number ofreturns of a car for correction for defects during the warranty period.

Solution:

(1):

dy/dx = (6x2 + 3e3x + 9xe3x) / (2x3 + 3xe3x)

(2A):

Revenue from the first product = 58Q1, revenue from the second product = 21Q2

Total revenue = 58Q1 + 21Q2

π = Total Revenue –Total cost = 58Q1 + 21Q2 – ((5/2) Q12 + 2Q1Q2 + (1/2) Q22 + 7Q1) = 51Q1 + 21Q2 – (5/2) Q12 – 2Q1Q2 – (1/2) Q22

First order partial derivatives:

Second order partial derivatives:

π1 = 51 – 5Q1 – 2Q2

π2 = 21 – 2Q1 – Q2

π11 = -5

π12 = π21 = -2

π22 = - 1

Simultaneous equations:        51 – 5Q1 – 2Q2 = 0

21 – 2Q1 – Q2 = 0

Solving the system of equations: Q1 = 9, Q2 = 3.

This is a maximum since:       π 11 = -5 < 0,

π22 = - 1 < 0

(π11) (π22) – (π 12)2 = (-5) (- 1) – (-2)2 = 1 > 0.

Maximum possible profit :

π = 51(9) + 21(3) – (5/2) (9)2 – 2(9)(3) – (1/2) (3)2 = £ 261

(2B):

Lagrangian function:

g (Q1, Q2, λ) = 51Q1 + 21Q2 – (5/2) Q12 – 2Q1Q2 – (1/2) Q22 + λ (10 – Q1 – Q2)

First order partial derivatives:            ∂g/∂Q1 = 51 – 5Q1 – 2Q2 – λ

∂g/∂Q2 = 21 – 2Q1 – Q2 – λ

∂g/∂λ = 10 – Q1 – Q2

Hence we have to solve the simultaneous equations:

51 – 5Q1 – 2Q2 – λ = 0

21 – 2Q1 – Q2 – λ = 0

10 – Q1 – Q2 = 0

Solving the system of equations:  Q1 = 10, Q2 = 0.

The value ofLagrange multiplier: λ =1.

Maximum possible profit:

π = 51(10) + 21(0) – (5/2) (10)2 – 2(10)(0) – (1/2) (0)2 = £ 260

The value of Lagrange multiplier (1) gives an approximate change in the maximum possible profit if the firm can increase the number of units produced by 1.