MA/CSC 427 Final Exam

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MA/CSC 427

FINAL ExAM

1.  (20 pts; 5 pts each) Explain in words or demonstrate by examples the following terms: 

(a)  Round-off error of a computer.

(b)  Truncation error of a numerical scheme.

(c)  Numerical stability of an algorithm.

(d)  Conditioning of a mathematical problem.

2.  (10 pts) Tabulate all positive numbers in fractional form that can be exactly represented in the system F (2, 2, 2, 1), where base β = 2, mantissa length t = 2 with normalization, exponent length q = 2, and exponent shift by 2. Note that with normalization, the first bit in the mantissa is hidden.

3.  (15 pts; 5 pts each) Given a set of points  with distinct nodes 

(a)  There are at least  three  ways to compute the interpolating polynomial.   Describe what these methods are.

(b) What are the two error formulas for polynomial interpolation?

(c)  Construct  by  hand  the  polynomial  that  interpolates  the  points  ( -1, 3), (0, -2), (2, 1), (5, -1). Show the steps.

4.  (20 pts; 4 pts each) Concerning the numerical integration:

(a)  Describe the explicit formulation of the composite Simpson’s rule.

(b)  Carefully elaborate why a composite rule can do a better job for numerical integration.

(c) What is the fundamental difference between the Newton-Cotes quadrature and the  Gaussian quadrature?

(d)  The derivation of the Gaussian quadrature is based on three fundamental principles by which the theory of orthogonal polynomials becomes an critical tool.  Describe without proof these basic theorems.

(e)  Given a standard Gaussian quadrature,  how an integral over a general interval  dx can be handled numerically?

5.  (10 pts; 5 pts each) Concerning the numerical differentiation:

(a)  How to estimate f'' (a) by the central difference formula for?

(b)  Use this central difference formula for f'' (a) to explain the limitation on the step size h when doing numerical differentiation.

6.  (15 pts; 5 pts each) Concerning the Numerical ODE methods:

(a)  Describe the format of a general R-stage Runge-Kutta method.

(b)  Describe the format of a general linear (p + 1)-step method.

(c)  Name three fundamental differences, other than just their different appearance, between the RK method and the multi-step method.

7.  (10 pts; 5 pts each) Suppose that the 2-stage Runge-Kutta method

is applied to the test problem y' = λy .

(a)  Show that the numerical solution satisfies

where 

(b)  Suppose λ = -1, what is the maximal step size h allowable to ensure the stable?