STA457H1/STA2202H F-LEC5101 Time Series Analysis

Department of Statistical Sciences

Time Series Analysis

STA457H1/STA2202H F-LEC5101

Fall 2021

Quiz 6

 

Q1.     a. Let x1 , x2 , . . . , x5 be the observations from MA(1) model xt  = wt +θwt − 1 , where wt  ～  i.i.d. N (0, 2).  Find the best linear predictor (BLP) x5(4)  in terms of w1 , w2 , and compute its mean squared error. (5 pts)

Solutions:

Let x5(4)  be the best linear predictor of x5  based on x1 , x2 , x3 , x4 .

 

x5(4)  = E[x5 |x4 , x3 , x2 , x1]

= E[w5 + θw4 |x4 , x3 , x2 , x1] (1 pt)

 

 

Note that

E[wt |xn , . . . , x1] =．．0     t > n

．,wt     t < n

(1 pt)

 

 

So, x5(4)  = E[w5 |x4 , x3 , x2 , x1] + E[θw4 |x4 , x3 , x2 , x1] = θw4  (1 pt)

 

Next, the mean squared error =E[(x5 - x5(4))2]

= E[(w5 + θw4 - θw4 )2]

= E[w5(2)] = Var(w5 ) = 2 (2 pt)

b.  Consider the following AR(3) process

 

xt - 0.40xt − 1 - 0.30xt −2 - 0.20xt −3  = wt ,

where wt  ～ i.i.d N (0, 1). We wish to forecast x14  using the following values: x1  = 3.1, x2  = 0.93, x3  = -2.3, x4  = -3.2, x5  = -1.3

x6  = -2.5, x7  = 2.6, x8  = 2.0, x9  = -3.5, x10  = -0.74.

Give a 90% best linear prediction interval for the value x14 .  Assume z0.05  = -1.645 and z0.95  = 1.645. Give your answers to four decimal places. (5 pts)

Solutions:

The BLP of xn+1  is of the form

xn(n)+1  = E[xn(n)+1 |x10 , x9 , . . . x1] = 0.40xn + 0.30xn − 1 + 0.20xn −2

x11(n)  = 0.40x10(n) + 0.30x9(n) + 0.20x8(n)  = 0.40(-0.74) + 0.30(-3.5) + 0.20(2) = -0.946

(0.50 pt)

x12(n)  = 0.40x11(n) + 0.30x10(n) + 0.20x9(n)  = 0.40(-0.946) + 0.30(-0.74) + 0.20(-3.5) =

-0.8564

(0.50 pt)

x13(n)  = 0.40x12(n)+0.30x11(n)+0.20x10(n)  = 0.40(-0.8564)+0.30(-0.946)+0.20(-0.74) =

-0.7744

(0.50 pt)

x14(n)  = 0.4x13(n) + 0.3x12(n) + 0.2x11(n)  = 0.4(-0.7744) + 0.3(-0.8564) + 0.2(-0.946) =

-0.7559.

(0.50 pt)

Now we need to compute Pn(n)+4  mean square prediction error to find the pre- diction interval x14(n) ± 1.645 ．Pn(n)+4 .

 

We know that Pn(n)+m  = σw(2)

 

1 ψj(2)  with initial conditions ψk  =

j(k)=1 φj ψk −j

for k  < p = 3.  When k  ≥ p, we have ψk   =     j(3)=1 φj ψk −j , where φ 1   = 0.4, φ2  = 0.3, φ3  = 0.2 are the coefficients to the given autoregressive polynomial.

 

ψ0  = 1

ψ 1  = φ 1 ψ0  = 0.40 (0.50 pt)

ψ2  = φ 1 ψ 1 + φ2 ψ0  = 0.4(0.4) - 0.30 = -0.14 (0.50 pt)

ψ3  = φ 1 ψ2 + φ2 ψ 1 + φ3 ψ0  = 0.264 (0.50 pt)

 

Now, we can compute Pn(n)+m  = σw(2)

 

1 ψj(2)