Pset # 1

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Pset # 1

Problem 1. Let X and Y be non empty sets.  Prove that f : X → Y is a bijection ( one to one and onto) if ∃ a map g : Y → X satisfying f (g(y)) = y for all y ∈ Y and g(f (x)) = x for all x ∈ X .

Problem  2.   Let X be  a non-empty set.   Let  ~ be  an  equivalence relation on X .   Given a ∈ X, recall that  [a] denotes the  equivalence class of a. Prove that given a, b ∈ X we have

[a] ∩ [b] = ∅ or  [a] =  [b]  .

Problem 3.  Prove that surjective maps, equivalence relations,  and partitions are all equivalent concepts.

Problem  4.   Let  S<3    :=  {p  ∈ Q>0    | p2    <  3} and  S>3    :=   {p  ∈ Q>0   | p2  > 3}.  Show that S<3  contains no largest member and that S>3 contains no smallest member. Do this as follows: Use the “parabola construction” from Lecture 2 to find the q associated to a given p in S<3  ( or in S>3  ) .

Problem  5.  Prove that an arbitrary union of open sets  (in RN ) is open and that any finite intersection of open sets is open.  Is the second statement still true if we intersect infinitely many open sets together?