HW4

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Assignment

Throughout this homework assignment we consider the following communication system in thecomplex baseband consisting of a transmitter,a time-dispersive AWGN channel, and a receiver,

with the the following system parameters:

• Transmitted symbols:  b[n]; symbol duration:  T = 2; discrete-time variable at the transmitter n.

• Transmit filter: gT (t) = I[0,T](t)

• Channel filter: gC (t) = a1 δ0 (t — 1) + a2 δ0 (t — 2)

• Receive filter: gR (t) = I[0,Ts] (t)

• Complex-valued zero-mean Gaussian noise process n(t) with power spectral density Sn (f) = N0 .

• Sampling interval at the receiver Ts  = T/m; discrete time variable at the receiver k.

For randomising the solutions, we use the following definitions of Student A-D:

• Student A: You were born in January – March

• Student B: You were born in April – June

• Student C: You were born in July – September

• Student D: You were born in October – December

Problem 1 (5 points)

In this problem, we look at the performance of a receiver that is unaware of the effect of the time-dispersive channel. We consider a binary transmission with BPSK-modulatedequiprobable symbols b[n] ∈ {—1, +1} and assume symbol-spaced sampling at the receiver.  That is,  m = 1, Ts  = T, k = n, and r[k] = r(kTs) with the receive-filter output signal r(t).

a)  Sketch the effective impulse response  x(t) = gT (t)  gC (t)  gR (t) and give the resulting discrete-time impulse response f [k] = gC (kTs ).                    (1 point)

b)  Assume that the receiver uses the decision rule                                                              (1 point)

Express r[k + 1] as a function of the data symbols b[n], b[n — 1], . . ., the channel parameters a1 , a2 , and the noise sample w[k + 1].

What limits the performance of this transmission scheme (even in the noise-free case)?

c)  For the parameters specified above show that the noise samples w[k +1] in the sampled out- put of the receive filter are uncorrelated and have variance σ 2  = N0  per complex dimension. (1 point)

d)  Derive the error probability.                            (2 points)

Prepare a plot of the error probability over Es /N0  in the range [—20, 30] dB, where we use the energy of the discrete-time impulse response vector f as the received symbol energy, i.e., Es  = ⅡfⅡ2 .

Verify the result by analysing the asymptotic cases where the noise variance becomes small (i.e., N0  → 0) and big (i.e., N0  → ∞ ).

Problem 3 (7 points)

In this last problem, we compare the performance of the above equalization techniques with the performance of a cyclic-prefix OFDM system with N sub-carriers that avoids the equalization problem by transforming the ISI channel into N orthogonal channels.  That is, the transmission is organized in blocks of N + L - 1 transmitted symbols b[k],

b = [b[N - (L - 1)], . . . , b[N - 1], b[0], . . . , b[N - 1]],

where the first L - 1 symbols are the cyclic prefix, and the remaining N symbols are the samples of the BPSK-modulated data symbols B[l] ∈ {-1, +1}, modulated by the sub-carriers,

where the  factor √N is  chosen to  normalize the  sub-carriers to unit energy to ensure a fair comparison with results from Problem  1 and 2, and l is the discrete frequency variable of the DFT.

The receiver uses the receive filter gRX (t) as specified above with symbol-spaced sampling (i.e., m = 1, Ts  = T, and n = k, as in Problem 1), extracts the last N samples of the block of received samples r[k] to remove the cyclic prefix, and employs the DFT for demodulating the subcarriers:

(Note that the time variable at the receiver k = n for m = 1.)

a)  Give the sampled impulse response h[k] (remove leading zeros due to transmission delays) and the cyclic-prefixlength.                                               (1 point)

b)  For the resulting N parallel sub-carrier channels

derive an expression for the fading coefficients H[l] and their amplitudes |H[l]|, and give the noise variance of the resulting Gaussian noise samples after OFDM demodulation, W [l]. (2 point)

c)  Assume that the receiver employs phase compensation in order to be  able to employ  a sign-based decision rule for coherent detection,

with the decision variable Z[l] = √N |H[l]|B[l] + W, [l], where complex W, [l] are the noise samples after phase rotation.

Derive an expression for the average error probability, averaged over the N sub-carriers,  and a high-SNR approximation.            (1.5 point)

d)  For N = 16, Es  = Ⅱ[h]Ⅱ2  (i.e., the energy of the sampled impulse response h[k]), plot the exact error probability and the high-SNR approximation over Es /N0 in the range [0, 15] dB. (1 point)

e)  Comment on how the results in Problem 1-3 reflect the expected behaviour. If there are deviation from the expected behaviour, try to give reasons.

Make a suggestion on how the performance of the OFDM system can be approved.  (1.5 point)