MATH21112 Rings and Fields Example Sheet 5 Homomorphisms and Isomorphisms

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH21112 Rings and Fields

Example Sheet 5

Homomorphisms and Isomorphisms

1.  Prove that isomorphism is an equivalence  relation on the set of all rings.

2.  Show that the ring of 2 × 2 matrices of the form

with a,b,c, d ∈ R (and i a square root of —1) is isomorphic to the ring of quaternions (see Example 2.15).

3.  Show that all rings with three elements are isomorphic. (Hint: consider the + and × tables.)

4.  Show that the projection map π 1  : R1 ×R2  :—→ R1  given by π1 ((r1 , r2 )) = r1  is a homomorphism.  Is it an isomorphism?

5.  Let θ : Znk  —→ Zn  be defined by θ([a]nk ) = [a]n , where n, k ∈ N, n ≥ 2. Prove that θ is a homomorphism.  Prove that there is no homomorphism from Zm  to Zn  if n is not an integer factor of m.

(Hint: consider the characteristics of the rings.)

6.  Show that  if θ : R —→ S and β : S —→ T are homomorphisms such that the composition β o θ : R —→ T is an embedding then  it need not be the case that β is an embedding (see Lemma 3.10).