MATH21112 Rings and Fields Example Sheet 4 Fields, Nilpotents and Idempotents

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH21112 Rings and Fields

Example Sheet 4

Fields, Nilpotents and Idempotents

1.  Show that Q[i] = {a + bi j a, b ∈ Q} (where i2  = -1) is a field.

2.  Let R be the polynomial ring Z8 [X].  Show that the polynomial 1 + 2X is invertible in R.

(Hint: consider powers of 1 + 2X.)

3.  Let R be a commutative ring.  Prove that if a and b are nilpotent elements of R, then a + b is nilpotent.

4.  Suppose that  R is a ring such that a2  = a for every a ∈ R.  Show that a = -a for all a ∈ R.

Show that R is commutative.  (Hint:  consider (a + b)2 .)

5.  Prove  that  if R is a domain then there are  no  nilpotent elements other than 0 and no idempotent elements other than 0 and 1.

6.  Find all idempotent and all nilpotent elements in the  ring Z6  × Z12 .

7.  Let R be a finite integral domain.  Prove that R is a field.

(Hint: use a similar argument to that used in Lemma 2.12 where we showed that Zp  is an integral domain and a field when p is prime.)