MATH2003J Optimisation in Economics SPRING TRIMESTER EXAMINATION - 2019/2020

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SPRING TRIMESTER EXAMINATION - 2019/2020

MATH2003J Optimisation in Economics

1. (a)  Determine whether each of the following statements is True or False. No explanation is needed when answering 1(a)(i) to 1(a)(v).

(i)  Let p be a critical point of a twice diferentiable function f : Rn Y R.  If det(H(p)) = 0, where H(p) denotes the Hessian matrix of f, then f has a saddle point at p. [1]

(ii) The following is a linear programming problem:

Maximize z = 2x1 - x2  subject to

x1 +2x1x2 ≥ -10

3x1(2) +5x2 ≤ 18

x1, x2 ≥ 0                                      [1]

(iii) The set S = [2, 5] n {8} is convex. [1]

(iv)  If we solve the non-linear programming problem of maximizing f(x, y, z) subject to two diferent constraints g1 (x, y, z) ≤ c1  and g2 (x, y, z) ≤ c2 using the Kuhn-Tucker method, we have to consider 4 diferent cases. [1]

(v)  Let S ⊆ Rn be a convex set.  It is possible for a function f : S Y R to be neither concave nor convex on S. [1]

(b)  Determine whether each of the following statements is True or False.

Briefly justify your answers to questions 1(b)(i) to 1(b)(v).

(i) There is no solution to the optimization problem:

Maximize z = f(x, y) subject to

x +2y ≤ 1

2x +3y ≥ 6

(ii) The set S = {(x, y) e R2  : 4x2  +9y2 ≤ 36, x ≤ 0} is bounded. [3]

(iii)  Let S = {(x, y) e R2   : g1 (x, y) ≤ c1 , g2 (x, y) ≤ c2 , g3 (x, y) ≤ c3 } be a set in R2  where g1 (x, y) ≤ c1 , g2 (x, y) ≤ c2   and g3 (x, y) ≤ c3  are linear inequalities. Then S is always bounded. [3]

(iv)  Let f : S Y R be defined by

f(x, y) = 2y - 5x2 - 4xy - y2

where S = {(x, y) e R2   : x2  + y2 ≤ 100} is a convex set.  Then f is convex on S. [3]

(v) This question refers to 1(b)(iv). The function f has a maximum at (-2, 5) on S. [3]

4. (a)  Consider the following linear programming problem:      Maximize z = 8x1  +7x2  subject to

x1 + x2 ≤ 10

2x1 + x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥ 0.

(i)  Solve the above problem with the simplex method.

(ii)  Formulate the dual problem.

(iii)  Determine the optimal solution to the dual problem from tableau of the original problem.

(b) A shampoo company manufactures shampoo A and shampoo B. Each litre of shampoo A sells for €8 and each litre of shampoo B sells for €7.  The production and sales of both items involve labour and herbs. The constraints of each of these resources is illustrated in the table below.

(i)  Let t1  and t2  represents the working time of labour and amount of herbs respectively.   Determine the values of t1  and t2   required to maximize the company’s revenue. [2]

(ii)  By using the results in 4(a), or otherwise, find the shadow price of the labour per time unit and the shadow price of the herbs per unit. [2]

5. Let f : R2 → R be defined by f(x, y) = 4x2 − y2  + 5 and consider the constraints x2 + y2 ≤ 4    and x ≤ 1.

(a)  Sketch the feasible set  in the  plane  and explain why f attains extrema

(maximum and minimum) subject to the above constraints. [4]

(b)  Use the  Kuhn-Tucker  method to find the  maximum and the minimum of f subject to the above constraints. [16]