MA 482 STOCHASTIC ANALYSIS FOURTH YEAR EXAMINATION: SUMMER 2021

Time Allowed: 3 hours

Read all instructions carefully. Please note also the guidance you have received  in advance on the departmental ‘Warwick Mathematics Exams 2021’ webpage.

Calculators, wikipedia and interactive internet resources are not needed and are not permitted in this examination.  You are not allowed to confer with other people.  You may use module materials and resources from the module webpage.

ANSWER COMPULSORY QUESTION 1 AND TWO FURTHER QUESTIONS out of the three optional questions 2, 3 and 4.

On completion of the assessment, you must upload your answer to Moodle as a single PDF document if possible, although multiple iles (2 or 3) are permitted.  You have an additional 45 minutes to make the upload,  and instructions  are available on the departmental ‘Warwick Mathematics Exams 2021’ webpage.

You must not upload answers to more than 3 questions, including Question 1.  If you do, you will only be given credit for your Question 1 and the irst two other answers.

The numbers in the margin indicate approximately how many marks are available for each part of a question.  The compulsory question is worth 40 marks, while each optional question is worth 30 marks.

Throughout this exam unless stated otherwise you may assume,

(Ω ; F; r) is a probability space,

(Ft )t   0  is a iltration satisfying the usual conditions,

(Bt )t   0  is a (Ft )t   0  Brownian motion.

COMPULSORY QUESTION

1. This question is about the Ornstein-Uhlenbeck process.  Throughout this question X is the solution to the SDE

dXt  = -λXtdt + σdBt, (1)

where λ > 0, σ > 0.

a) Find d(eγtXt ) for γ 2 R.

b)  For which values of γ is eγtXt a martingale?

c)  By choosing γ show that

d) When X0  = x compute E(Xt ).

e) Let Yt  = eλtXt. What is the quadratic variation of Yt?

f) Using the Dubins-Schwarz theorem, write Yt  in the form

Y0 + WF (t) ,

where W is a Brownian motion and F is a function of time.

g) Use part (f) to write Xt  in the form

H(t, X0 ) + G(t)WF (t).

h) Write down the Kolmogorov forward equation for the law of the solution to the SDE (1).

i) Using the Kolmogorov forward equation ind the law of a steady state solution to the SDE. How does this relate to your answer to part (g)?

OPTIONAL QUESTIONS

2. The aim of this question is to solve the SDE

dYt  = α(1 - Yt )dt + βYtdBt.

a) First, ind an Ito process Zt  such that

d(YtZt ) = αZt.

b) Write down the equation that will be satisied by the law of the steady state of this equation. Solve the steady state equation separately for y > 0 and y < 0.

c) Looking at the explicit solution of the SDE, state whether Yt  is going to tend

to be mostly negative, mostly positive or neither as t ! 1. Use this to ind a condition on α and β for the steady state to exist and write down the steady state without explicitly calculating the normalising factor.   Explain how the condition relates to the behaviour of Zt.

4. a) Explain why10(t) Bsds is a Gaussian random variable.

b)  Show that coU (Bt , 10(t) Bsds) = t2 /2 and that E ( (10(t) Bsds)2 ) = t3 /3.  Hence ind the joint density fBt ,'0(t) Bsds(g, z) of  (Bt , 10(t) Bsds).  Leave your answer in terms of matrix determinants and inverses without explicitly computing them.

c)  For    γ > 0, and φ E C0(2)(R)  (twice continuously diferentiable and vanishing at ininity), consider the PDE

Where x  E  R, U  E  R,  and  t  >  0.    Write  the solution  h(t, x, U)  in the  form Ex,v (Zt ) where Zt  is a stochastic process you should specify.  Give the name of the theorem you are using.

d)  Using your answer to parts (b) and (c) write h(t, x, U) in the form

where you should ind ψ explicitly.

e) Using the fact that the conditional density of 10(t) Bsds given Bt  is

show that